Seja
uma função contínua de uma variável e considere
(a) Mostre que
é conservativo.
[SUGESTÃO: Mostre que
onde
e
(b) Mostre que
é irrotacional.
[SUGESTÃO: Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função contínua
de uma variável real e o campo vetorial
Pede-se:
a) Mostrar que é conservativo, ou seja, existe um potencial
tal que
.
b) Mostrar que é irrotacional, isto é,
.
A sugestão é tomar
a) Mostrar que
b) Mostrar que
A sugestão é tomar
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
Pelo teorema da cadeia:
De modo análogo,
Passo 3
Juntando as três componentes, obtemos
Logo
, o que prova que
é conservativo.
Passo 4
Um campo que é gradiente de um potencial é automaticamente irrotacional. Em símbolos, se
então
Isso mostra que
é irrotacional.
Resposta
a)
é conservativo pois
com
b)
é irrotacional pois
.