Seja g uma função contínua de uma variável e considere
\vec{F}(x, y, z)=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k})
(a) Mostre que \vec{F} é conservativo.
[SUGESTÃO: Mostre que \vec{F}=\nabla f onde f(x, y, z)=\frac{1}{2} h\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) e \left.h(u)=\int g(u) d u\right]
(b) Mostre que \vec{F} é irrotacional.

Passo 1

O enunciado define a função contínua g de uma variável real e o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,(x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k}).
Pede-se:
a) Mostrar que \vec{F} é conservativo, ou seja, existe um potencial f tal que \vec{F}=\nabla f.
b) Mostrar que \vec{F} é irrotacional, isto é, \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
A sugestão é tomar
h(u)=\int g(u)\,du \quad\text{e}\quad f(x,y,z)=\tfrac12\,h\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de
f(x,y,z)=\tfrac12\,h\bigl(u\bigr), \quad\text{onde}\;u=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Pelo teorema da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\tfrac12\,h'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =\tfrac12\,g(u)\,(2x) =g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,x.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,y, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,z.

Passo 3

Juntando as três componentes, obtemos
\nabla f =\frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} +\frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k} =g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,(x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k}) =\vec{F}.
Logo \vec{F}=\nabla f, o que prova que \vec{F} é conservativo.

Passo 4

Um campo que é gradiente de um potencial é automaticamente irrotacional. Em símbolos, se \vec{F}=\nabla f então
\nabla\times\vec{F} =\nabla\times(\nabla f) =\vec{0}.
Isso mostra que \vec{F} é irrotacional.

Resposta

a) \vec{F} é conservativo pois \vec{F}=\nabla f com
f(x,y,z)=\tfrac12\,\int g\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,d\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
b) \vec{F} é irrotacional pois \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

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