A segunda lei da termodinâmica afirma que a integral de linha
é independente do caminho no plano
.
(a) As equações de estado de um gás ideal são
onde
e
são constantes e
é uma dada função da temperatura. Dessa forma é mais conveniente tomar
e
como variáveis independentes e expressar
e
em termos de
e
. Se isto for feito mostre que
(b) Uma vez que a integral de linha é independente do caminho existe uma função
, dita a entropia, tal que
onde
é a curva ligando os pontos
e
. Mostre que se
é constante tem-se
onde
é uma constante.
(a) As equações de estado de um gás ideal são
Passo 1
O enunciado afirma que, para um gás ideal com equações de estado
a integral de linha
é independente do caminho no plano
. Precisamos então: (a) reescrever
usando
e
como variáveis independentes; (b) mostrar que existe uma função
tal que
e, quando
é constante, obter
Passo 2
Como
, definimos
logo
E da equação
vem
Passo 3
Substituindo em
temos
Passo 4
Como
não depende do caminho, existe uma função de estado
(a entropia) tal que
Passo 5
Para integrar
quando
é constante, tratamos separadamente as variáveis:
- Mantendo
fixo,
- Agora impondo
onde
é constante de integração.
Passo 6
Combinando os resultados, obtemos
Resposta
(a)
(b) Para
constante, a entropia é