Em que domínio é a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{y d x-x d y}{x^{2}+y^{2}}
independente do caminho:
(a) x>0
(b) x<0
(c) y>0
(d) y<0
x^{2}+y^{2}>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar em quais domínios a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{y\,dx - x\,dy}{x^2 + y^2}
é independente do caminho, sabendo que estamos sempre em x^2 + y^2>0 (ou seja, fora da origem). O conteúdo é: reconhecer que o elemento diferencial
\omega = \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2}
é a forma \mathrm d\theta (diferencial do ângulo), que é fechada em \mathbb R^2\setminus\{0\} e só será exata (conservativa) em domínios simplesmente conexos que não envolvam a origem.

Passo 2

Escrevemos
P(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}, \quad Q(x,y)=-\frac{x}{x^2+y^2}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{(x^2+y^2)-y\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial Q}{\partial x} =-\,\frac{(x^2+y^2)-x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} =-\,\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, ou seja, \omega é fechada em todo \mathbb R^2\setminus\{0\}.

Passo 3

Uma forma fechada é exata (e a integral independe do caminho) se o domínio for simplesmente conexo. O conjunto \mathbb R^2\setminus\{0\} não é simplesmente conexo (existe buraco em zero), mas qualquer subdomínio aberto, conexo e sem “contornar” a origem será simplesmente conexo.

Passo 4

As quatro regiões dadas:
\{(x,y)\mid x>0\},
\{(x,y)\mid x<0\},
\{(x,y)\mid y>0\} e
\{(x,y)\mid y<0\}
são todas abertas, conexas, não contêm o ponto (0,0) e são simplesmente conexas. Portanto, nelas a forma \omega é exata e a integral independe do caminho.

Resposta

(a), (b), (c) e (d)

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