Em que domínio é a integral de linha
independente do caminho:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar em quais domínios a integral de linha
é independente do caminho, sabendo que estamos sempre em
(ou seja, fora da origem). O conteúdo é: reconhecer que o elemento diferencial
é a forma
(diferencial do ângulo), que é fechada em
e só será exata (conservativa) em domínios simplesmente conexos que não envolvam a origem.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos
Logo
, ou seja,
é fechada em todo
.
Passo 3
Uma forma fechada é exata (e a integral independe do caminho) se o domínio for simplesmente conexo. O conjunto
não é simplesmente conexo (existe buraco em zero), mas qualquer subdomínio aberto, conexo e sem “contornar” a origem será simplesmente conexo.
Passo 4
As quatro regiões dadas:
,
,
e
são todas abertas, conexas, não contêm o ponto e são simplesmente conexas. Portanto, nelas a forma
é exata e a integral independe do caminho.
são todas abertas, conexas, não contêm o ponto
Resposta
(a), (b), (c) e (d)