Seja f(x)=\cos x e g(x)=\sqrt{x+1}. Classifique a função h(x)=g^{-1}(x) \cdot(g \circ f)(x) como função par ou ímpar.

Passo 1

O enunciado fornece três funções e pede que classifique h(x) como par ou ímpar:
  • f(x)=\cos x.
  • g(x)=\sqrt{x+1}.
  • h(x)=g^{-1}(x)\cdot (g\circ f)(x).
Informações dadas importantes para usar depois:
  • A expressão de g implica que o domínio de g é [-1,\infty) (pois é preciso x+1\ge 0) e seu contradomínio (valores possíveis) é [0,\infty) (a raiz quadrada dá valores não negativos).
  • O enunciado pede apenas: classificar h como função par ou ímpar (ou seja, verificar se h(-x)=h(x) para todo x do domínio simétrico, ou h(-x)=-h(x)).

Passo 2

Encontrar explicitamente g^{-1} (inversa de g) e explicar o que significa inversa:
  • Definição prática: se y=g(t), então a inversa g^{-1} satisfaz t=g^{-1}(y). Para obter a fórmula, escrevemos y=\sqrt{t+1} e resolvemos para t.
  • Resolver:
y=\sqrt{t+1}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=t+1\quad\Rightarrow\quad t=y^{2}-1.
  • Substituindo a variável de volta por x (padrão para funções): a expressão algébrica é
g^{-1}(x)=x^{2}-1.
  • Atenção ao domínio da inversa: a inversa g^{-1} só está definida para x que pertencem ao contradomínio de g. Como o contradomínio de g é [0,\infty), o domínio de g^{-1} é [0,\infty). Portanto a igualdade g^{-1}(x)=x^{2}-1 vale para x\ge 0.

Passo 3

Calcular g\circ f e explicar composição:
  • Por definição (g\circ f)(x)=g(f(x)). Aqui f(x)=\cos x, então
(g\circ f)(x)=g(\cos x)=\sqrt{\cos x + 1}.
  • Verificar domínio dessa expressão: precisa de \cos x+1\ge 0. Como -1\le\cos x\le1, tem-se \cos x+1\in[0,2] para todo x\in\mathbb{R}. Logo (g\circ f)(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Escrever h(x) explicitamente e identificar o domínio de h:
  • Usando as fórmulas encontradas,
h(x)=g^{-1}(x)\cdot (g\circ f)(x)=(x^{2}-1)\,\sqrt{\cos x+1}.
  • Porém, cuidado com domínios: a expressão x^{2}-1 é um polinômio definido para todo x, mas lembrando que g^{-1}(x) foi obtida como inversa de g e só vale (como g^{-1}) para x\ge 0. Portanto a definição original de h (produto de g^{-1}(x) por (g\circ f)(x)) exige que x esteja no domínio de g^{-1}, ou seja:
\text{domínio de }h = \{x\in\mathbb{R} \mid x\ge 0\}=[0,\infty).í
  • Conclusão: considerando estritamente os domínios das funções dadas, h está inicialmente definida apenas em [0,\infty).

Passo 5

Definir o que significa ser função par ou ímpar e a condição sobre domínio:
  • Uma função H é par se, para todo x no domínio de H, também -x pertence ao domínio e vale H(-x)=H(x). Em outras palavras, o domínio precisa ser simétrico em relação a 0 e a igualdade de valores deve ocorrer para pares (x,-x).
  • Uma função H é ímpar se o domínio é simétrico e vale H(-x)=-H(x) para todos esses x.
  • Observação importante: se o domínio de uma função não é simétrico em torno de 0 (por exemplo, [0,\infty)), a noção clássica de “par” ou “ímpar” não se aplica estritamente — não se pode exigir igualdade para todos os pares (x,-x) porque alguns -x não pertencem ao domínio.

Passo 6

Verificar paridade das partes que compõem h e usar propriedades:
  • Primeiro, g^{-1}(x)=x^{2}-1. Verificar paridade:
g^{-1}(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=g^{-1}(x).
Logo a expressão algébrica x^{2}-1 é uma função par (satisfaz f(-x)=f(x) para todo x\in\mathbb{R}). Como inversa g^{-1} foi originalmente definida em [0,\infty), essa verificação mostra que a fórmula é par como expressão algébrica; quando se estende ao domínio inteiro, continua par.
  • Segundo, (g\circ f)(x)=\sqrt{\cos x+1}. Verificar paridade usando que \cos é par:
(g\circ f)(-x)=\sqrt{\cos(-x)+1}=\sqrt{\cos x+1}=(g\circ f)(x).
Portanto (g\circ f) é uma função par (e está definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • Produto de duas funções pares é par: se A(-x)=A(x) e B(-x)=B(x) sempre que ambos definidos, então (AB)(-x)=A(-x)B(-x)=A(x)B(x)=(AB)(x).

Passo 7

Concluir sobre h, incluindo o comentário sobre domínio:
  • Algebraicamente (isto é, ao manipular as fórmulas), ambas as parcelas de h(x)=(x^{2}-1)\sqrt{\cos x+1} são funções pares, logo o produto é uma função par, ou seja, para todo x onde ambas as expressões estão definidas,
h(-x)=h(x).
  • Rigorando nos domínios: a definição original de h tinha domínio [0,\infty) (interseção dos domínios), que não é simétrico em relação a 0. Pela definição formal de paridade que exige domínio simétrico, não se poderia declarar uma função com domínio apenas [0,\infty) como par ou ímpar sem antes estender seu domínio. Contudo, a expressão algébrica de h admite extensão natural para todo \mathbb{R} (pois x^{2}-1 vale para todo x e \sqrt{\cos x+1} também), e nessa extensão a propriedade h(-x)=h(x) vale para todo x. Por isso, na prática e no contexto típico desta questão, a classificação aceita é: h é par.

Resposta

h é par.

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