Seja
e
. Classifique a função
como função par ou ímpar.
Passo 1
O enunciado fornece três funções e pede que classifique
como par ou ímpar:
-
. -
. -
.
Informações dadas importantes para usar depois:
- A expressão de
implica que o domínio de é (pois é preciso ) e seu contradomínio (valores possíveis) é (a raiz quadrada dá valores não negativos). - O enunciado pede apenas: classificar
como função par ou ímpar (ou seja, verificar se para todo do domínio simétrico, ou ).
Passo 2
Encontrar explicitamente
(inversa de
) e explicar o que significa inversa:
- Definição prática: se
, então a inversa satisfaz . Para obter a fórmula, escrevemos e resolvemos para . - Resolver:
- Substituindo a variável de volta por
(padrão para funções): a expressão algébrica é
- Atenção ao domínio da inversa: a inversa
só está definida para que pertencem ao contradomínio de . Como o contradomínio de é , o domínio de é . Portanto a igualdade vale para .
Passo 3
Calcular
e explicar composição:
- Por definição
. Aqui , então
- Verificar domínio dessa expressão: precisa de
. Como , tem-se para todo . Logo está definida para todo .
Passo 4
Escrever
explicitamente e identificar o domínio de
:
- Usando as fórmulas encontradas,
- Porém, cuidado com domínios: a expressão
é um polinômio definido para todo , mas lembrando que foi obtida como inversa de e só vale (como ) para . Portanto a definição original de (produto de por ) exige que esteja no domínio de , ou seja:
- Conclusão: considerando estritamente os domínios das funções dadas,
está inicialmente definida apenas em .
Passo 5
Definir o que significa ser função par ou ímpar e a condição sobre domínio:
- Uma função
é par se, para todo no domínio de , também pertence ao domínio e vale . Em outras palavras, o domínio precisa ser simétrico em relação a e a igualdade de valores deve ocorrer para pares . - Uma função
é ímpar se o domínio é simétrico e vale para todos esses . - Observação importante: se o domínio de uma função não é simétrico em torno de
(por exemplo, ), a noção clássica de “par” ou “ímpar” não se aplica estritamente — não se pode exigir igualdade para todos os pares porque alguns não pertencem ao domínio.
Passo 6
Verificar paridade das partes que compõem
e usar propriedades:
- Primeiro,
. Verificar paridade:
Logo a expressão algébrica
é uma função par (satisfaz
para todo
). Como inversa
foi originalmente definida em
, essa verificação mostra que a fórmula é par como expressão algébrica; quando se estende ao domínio inteiro, continua par.
- Segundo,
. Verificar paridade usando que é par:
Portanto
é uma função par (e está definida para todo
).
- Produto de duas funções pares é par: se
e sempre que ambos definidos, então .
Passo 7
Concluir sobre
, incluindo o comentário sobre domínio:
- Algebraicamente (isto é, ao manipular as fórmulas), ambas as parcelas de
são funções pares, logo o produto é uma função par, ou seja, para todo onde ambas as expressões estão definidas,
- Rigorando nos domínios: a definição original de
tinha domínio (interseção dos domínios), que não é simétrico em relação a . Pela definição formal de paridade que exige domínio simétrico, não se poderia declarar uma função com domínio apenas como par ou ímpar sem antes estender seu domínio. Contudo, a expressão algébrica de admite extensão natural para todo (pois vale para todo e também), e nessa extensão a propriedade vale para todo . Por isso, na prática e no contexto típico desta questão, a classificação aceita é: é par.