Calcular integralegral duplaS(x+y+z) d S, onde S é a face da frente do cubo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

A gente quer calcular a integral de superfície integral duplaS(x+y+z),dS sobre a face da frente do cubo. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, e pra resolver vamos parametrizar essa face e virar um integral duplo.

Passo 2

A face da frente do cubo é a que fica em y=1 com 0<= x<=1 e 0<= z<=1. Podemos usar a parametrização
r(x,z)=(x,,1,,z), (x,z)in[0,1]times[0,1]
Os vetores tangentes são rx=(1,0,0) e rz=(0,0,1), então
dS=llvert rxtimes rzrrvert,dx,dz=1,dx,dz

Passo 3

Substituindo y=1 e dS=dx,dz, a integral fica
integral duplaS(x+y+z),dS=integral0^1integral0^1l(x+1+zr),dx,dz

Passo 4

Agora calculamos o duplo: primeiro em x:
integral0^1(x+1+z),dx=[tfracx^22+x+xz]0^1=tfrac12+1+z=tfrac32+z
Depois em z:
integral0^1l(tfrac32+zr),dz=[tfrac32z+tfracz^22]0^1=tfrac32+tfrac12=2

Resposta

2

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