Use o Teorema de Lagrange para mostrar que qualquer grupo de ordem 15 não pode ter um subgrupo de ordem 7.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um grupo finito de ordem 15 não pode existir subgrupo de ordem 7. O conteúdo envolvido é Teoria de Grupos, especificamente o Teorema de Lagrange, e vamos precisar usar a ideia de que a ordem de um subgrupo deve dividir a ordem do grupo.
Passo 2
O Teorema de Lagrange diz que se
é um subgrupo de um grupo finito
, então
Passo 3
Aqui temos
. Se existisse um subgrupo
tal que
, precisaríamos ter
. Contudo, 7 não divide 15 (pois 15 é igual a 2·7 + 1). Assim, chegamos a uma contradição com o Teorema de Lagrange.
Resposta
Não existe subgrupo de ordem 7 em um grupo de ordem 15, pois 7 não divide 15 segundo o Teorema de Lagrange.