Use o Teorema de Lagrange para mostrar que qualquer grupo de ordem 15 não pode ter um subgrupo de ordem 7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um grupo finito de ordem 15 não pode existir subgrupo de ordem 7. O conteúdo envolvido é Teoria de Grupos, especificamente o Teorema de Lagrange, e vamos precisar usar a ideia de que a ordem de um subgrupo deve dividir a ordem do grupo.

Passo 2

O Teorema de Lagrange diz que se H é um subgrupo de um grupo finito G, então
|H|mid |G|

Passo 3

Aqui temos |G|=15. Se existisse um subgrupo H tal que |H|=7, precisaríamos ter 7mid15. Contudo, 7 não divide 15 (pois 15 é igual a 2·7 + 1). Assim, chegamos a uma contradição com o Teorema de Lagrange.

Resposta

Não existe subgrupo de ordem 7 em um grupo de ordem 15, pois 7 não divide 15 segundo o Teorema de Lagrange.

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