Seja
um grupo finito com
e
com
. Use o Teorema de Lagrange para determinar
. Liste uma possível partição de
usando as classes laterais de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo finito G com |G| = 24 e um subgrupo H com |H| = 6. O conteúdo requerido é o Teorema de Lagrange (índice de subgrupo) e a definição de classes laterais para particionar G.
Passo 2
Pelo Teorema de Lagrange sabemos que o índice de H em G é dado por
. Substituindo os valores temos
.
Passo 3
Para particionar G em classes laterais, lembramos que, para cada elemento
, a classe lateral esquerda de H é definida por
. Essas classes são disjuntas ou coincidem e juntas recobrem todo G.
Como o índice é 4, existem exatamente 4 classes laterais distintas. Podemos tomar um representante para cada classe: o elemento neutro para representar H, e escolher três elementos
em
tais que as classes
sejam todas diferentes.
Como o índice é 4, existem exatamente 4 classes laterais distintas. Podemos tomar um representante para cada classe: o elemento neutro
Passo 4
Assim obtemos uma partição de G nas 4 classes laterais:
Resposta
G = H ∪ g_{1}H ∪ g_{2}H ∪ g_{3}H,
onde escolhemos