Seja G um grupo finito com |G|=24 e H <= G com |H|=6. Use o Teorema de Lagrange para determinar [G: H]. Liste uma possível partição de G usando as classes laterais de H.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo finito G com |G| = 24 e um subgrupo H com |H| = 6. O conteúdo requerido é o Teorema de Lagrange (índice de subgrupo) e a definição de classes laterais para particionar G.

Passo 2

Pelo Teorema de Lagrange sabemos que o índice de H em G é dado por [G:H]=|G||H|. Substituindo os valores temos [G:H]=246=4.

Passo 3

Para particionar G em classes laterais, lembramos que, para cada elemento gin G, a classe lateral esquerda de H é definida por gH=g,h: hin H. Essas classes são disjuntas ou coincidem e juntas recobrem todo G.
Como o índice é 4, existem exatamente 4 classes laterais distintas. Podemos tomar um representante para cada classe: o elemento neutro e para representar H, e escolher três elementos g1,g2,g3 em Gsetminus H tais que as classes giH sejam todas diferentes.

Passo 4

Assim obtemos uma partição de G nas 4 classes laterais:

Resposta

[G:H]=4. Uma partição possível de G em classes laterais de H é:
G = H ∪ g_{1}H ∪ g_{2}H ∪ g_{3}H,
onde escolhemos g1,g2,g3in Gsetminus H de modo que H, g1H, g2H, g3H sejam as quatro classes laterais distintas.

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