Seja G=Z e H=4 Z. Mostre que H é um subgrupo e determine o número de classes laterais à esquerda. Quais são as classes?

Passo 1

O enunciado define o grupo G=Z sob adição e o subconjunto H=4Z formado por todos os múltiplos de 4. Queremos mostrar que H é subgrupo de G e depois determinar quantas classes laterais à esquerda existem e quais são elas.

Passo 2

Para provar que H é subgrupo de G, usamos o critério de subgrupo: (i) H não é vazio, pois 0=4cdot0in H. (ii) Se a,bin H, então a=4k e b=4m para alguns inteiros k,m, logo a+b=4(k+m)in H, mostrando fechamento sob adição. (iii) Para todo a=4kin H, seu inverso é -a=-4k=4(-k)in H. Assim, H satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é subgrupo de G.

Passo 3

Para contar as classes laterais à esquerda de H em G, aplicamos o algoritmo da divisão por 4. Dado um inteiro n, escrevemos n=4q+r com resto rin0,1,2,3. Dois inteiros n e m estão na mesma classe lateral se e somente se têm o mesmo resto r ao dividir por 4. Portanto, há exatamente 4 restos possíveis, isto é, o índice [G:H] é 4.

Passo 4

As classes laterais à esquerda são os conjuntos formados por cada resto r:
0+H = 4Z,1+H = 1+4Z,2+H = 2+4Z,3+H = 3+4Z

Resposta

O índice [G:H] é 4 e as classes laterais à esquerda são 4Z,,1+4Z,,2+4Z e 3+4Z.

Exercícios relacionados