Seja
e
. Mostre que
é um subgrupo e determine o número de classes laterais à esquerda. Quais são as classes?
Passo 1
O enunciado define o grupo
sob adição e o subconjunto
formado por todos os múltiplos de 4. Queremos mostrar que
é subgrupo de
e depois determinar quantas classes laterais à esquerda existem e quais são elas.
Passo 2
Para provar que
é subgrupo de
, usamos o critério de subgrupo: (i)
não é vazio, pois
. (ii) Se
, então
e
para alguns inteiros
, logo
, mostrando fechamento sob adição. (iii) Para todo
, seu inverso é
. Assim,
satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é subgrupo de
.
Passo 3
Para contar as classes laterais à esquerda de
em
, aplicamos o algoritmo da divisão por 4. Dado um inteiro
, escrevemos
com resto
. Dois inteiros
e
estão na mesma classe lateral se e somente se têm o mesmo resto
ao dividir por 4. Portanto, há exatamente 4 restos possíveis, isto é, o índice
é 4.
Passo 4
As classes laterais à esquerda são os conjuntos formados por cada resto
:
Resposta
O índice
é 4 e as classes laterais à esquerda são
e
.