Seja
um grupo e
. Mostre que
é um subgrupo de G
Passo 1
O enunciado dá claramente:
-
é um grupo (ou seja, tem uma operação binária , elemento identidade , inversos e a operação é associativa). -
é um elemento fixo. - Define-se o conjunto
.
O que precisa ser mostrado: provar que
é um subgrupo de
. Em outras palavras, provar que
é um subconjunto de
que, com a mesma operação
, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo (praticamente: contém a identidade, fechado pela operação e fechado por inversos).
Passo 2
Lembrando uma forma simples de mostrar que um subconjunto
é subgrupo: mostrar que
(onde
é a identidade de
), que se
então
(fechamento) e que se
então
(fecho por inversos). Vou usar esse caminho porque é direto e elemental.
Passo 3
Mostrar que a identidade
de
pertence a
.
Explicação: a identidade satisfaz, por definição de identidade,
e também
. Portanto
. Assim
comuta com
, logo
.
Passo 4
Mostrar que
é fechado pela operação: se
e
, então
.
Tomemos
. Isso significa que
e
. Queremos mostrar
.
Cálculo (usando associatividade da operação em
e as hipóteses acima):
Juntando, obtemos
. Logo
comuta com
, ou seja,
.
Passo 5
Mostrar que
é fechado por inversos: se
então
.
Começamos com a hipótese
. Multiplicando à esquerda por
(operações em
são válidas e associativas) obtemos
Pelo lado esquerdo,
. Pelo lado direito,
. Assim
Agora multiplicamos essa igualdade à direita por
:
Portanto
, o que mostra que
comuta com
. Assim
.
Passo 6
Concluir que
é subgrupo.
Já mostramos que
, que
é fechado sob a operação e que é fechado sob inversos. Essas três propriedades implicam que
é um subgrupo de
. (Em palavras:
é não vazio e é fechado em relação a produtos e inversos, logo forma um grupo com a operação herdada de
.)