Seja G um grupo e a \in G. Mostre que N(a)=\{x \in G \mid x * a=a * x\} é um subgrupo de G

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • G é um grupo (ou seja, tem uma operação binária *, elemento identidade e, inversos e a operação é associativa).
  • a\in G é um elemento fixo.
  • Define-se o conjunto N(a)=\{x\in G \mid x*a = a*x\}.
O que precisa ser mostrado: provar que N(a) é um subgrupo de G. Em outras palavras, provar que N(a) é um subconjunto de G que, com a mesma operação *, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo (praticamente: contém a identidade, fechado pela operação e fechado por inversos).

Passo 2

Lembrando uma forma simples de mostrar que um subconjunto H\subseteq G é subgrupo: mostrar que e\in H (onde e é a identidade de G), que se x,y\in H então x*y\in H (fechamento) e que se x\in H então x^{-1}\in H (fecho por inversos). Vou usar esse caminho porque é direto e elemental.

Passo 3

Mostrar que a identidade e de G pertence a N(a).
Explicação: a identidade satisfaz, por definição de identidade, e*a = a e também a*e = a. Portanto e*a = a*e. Assim e comuta com a, logo e\in N(a).

Passo 4

Mostrar que N(a) é fechado pela operação: se x\in N(a) e y\in N(a), então x*y\in N(a).
Tomemos x,y\in N(a). Isso significa que x*a = a*x e y*a = a*y. Queremos mostrar (x*y)*a = a*(x*y).
Cálculo (usando associatividade da operação em G e as hipóteses acima):
(x*y)*a = x*(y*a) \quad\text{(associatividade)}
x*(y*a) = x*(a*y) \quad\text{(porque }y*a=a*y\text{)}
x*(a*y) = (x*a)*y \quad\text{(associatividade)}
(x*a)*y = (a*x)*y \quad\text{(porque }x*a=a*x\text{)}
(a*x)*y = a*(x*y) \quad\text{(associatividade).}
Juntando, obtemos (x*y)*a = a*(x*y). Logo x*y comuta com a, ou seja, x*y\in N(a).

Passo 5

Mostrar que N(a) é fechado por inversos: se x\in N(a) então x^{-1}\in N(a).
Começamos com a hipótese x*a = a*x. Multiplicando à esquerda por x^{-1} (operações em G são válidas e associativas) obtemos
x^{-1}*(x*a) = x^{-1}*(a*x).
Pelo lado esquerdo, x^{-1}*(x*a) = (x^{-1}*x)*a = e*a = a. Pelo lado direito, x^{-1}*(a*x) = (x^{-1}*a)*x. Assim
a = (x^{-1}*a)*x.
Agora multiplicamos essa igualdade à direita por x^{-1}:
a*x^{-1} = (x^{-1}*a)*x*x^{-1} = x^{-1}*a.
Portanto x^{-1}*a = a*x^{-1}, o que mostra que x^{-1} comuta com a. Assim x^{-1}\in N(a).

Passo 6

Concluir que N(a) é subgrupo.
Já mostramos que e\in N(a), que N(a) é fechado sob a operação e que é fechado sob inversos. Essas três propriedades implicam que N(a) é um subgrupo de G. (Em palavras: N(a) é não vazio e é fechado em relação a produtos e inversos, logo forma um grupo com a operação herdada de G.)

Resposta

N(a) é um subgrupo de G.

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