Verifique se são subgrupos:
S_{3}=\left\{a+b \sqrt{2} \mid \quad a, b \in Q^{*}\right\} de \left(R^{*}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S_{3}=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}^*\}
e pede para verificar se S_{3} é subgrupo de (\mathbb{R}^*,\cdot).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • \mathbb{Q}^* é o conjunto dos racionais não nulos (ou seja, números racionais diferentes de 0).
  • \mathbb{R}^* é o conjunto dos reais não nulos, com a operação multiplicação.
  • A pergunta é: o subconjunto S_{3}\subseteq\mathbb{R}^* é um subgrupo de (\mathbb{R}^*,\cdot)?

Passo 2

Lembra das condições que um subconjunto H de um grupo (G,\cdot) precisa satisfazer para ser subgrupo? Para o caso de um grupo multiplicativo as condições essenciais (equivalentes) são:
  1. H não é vazio.
  2. 1\in H (onde 1 é o elemento identidade da multiplicação).
  3. Se x,y\in H então x\cdot y\in H (fechamento por produto).
  4. Se x\in H então x^{-1}\in H (fechamento por inverso).
Uma forma prática: basta verificar se 1\in H e se H é fechado por produto e inversos. Se faltar o 1, já dá para concluir que não é subgrupo.
Explicação rápida do porquê: o elemento identidade é o elemento neutro que todo subgrupo herdará do grupo. Se um subconjunto não contém esse elemento neutro, ele não pode ser um subgrupo.

Passo 3

Vamos checar a presença do elemento identidade 1 em S_{3}.
Suponha, por contradição, que 1\in S_{3}. Então existem a,b\in\mathbb{Q}^* tais que
1=a+b\sqrt{2}.
Como b\neq0 (pois b\in\mathbb{Q}^*), podemos isolar \sqrt{2}:
\sqrt{2}=\frac{1-a}{b}.
O lado direito \dfrac{1-a}{b} é uma razão de dois números racionais, logo é um número racional. Portanto a igualdade acima implicaria que \sqrt{2} é racional, o que contradiz o fato conhecido de que \sqrt{2} é irracional.
Logo a suposição é falsa e concluímos que
1\notin S_{3}.
Observação curta: não existe maneira de escrever 1 na forma a+b\sqrt{2} com a,b racionais não nulos, porque qualquer escolha de b\neq0 forçaria a a ser não racional para compensar o termo irracional b\sqrt{2}.

Passo 4

Como 1\notin S_{3}, o conjunto S_{3} não contém o elemento identidade de (\mathbb{R}^*,\cdot). Pela condição básica para subgrupos, isso já é suficiente para concluir que S_{3} não é subgrupo de (\mathbb{R}^*,\cdot).
Comentário adicional (útil para a prova): se a definição de S permitisse a,b\in\mathbb{Q} (ou seja, permitisse b=0), então o conjunto
\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\setminus\{0\}
corresponde ao grupo multiplicativo do corpo \mathbb{Q}(\sqrt{2}) e aí sim contém 1 e é um subgrupo de (\mathbb{R}^*,\cdot). A falha aqui vem justamente da exigência b\in\mathbb{Q}^* (isto é, b\neq0) que impede 1 de pertencer ao conjunto.

Resposta

Não, S_{3} não é subgrupo de (\mathbb{R}^*,\cdot).

Exercícios relacionados