Verifique se são subgrupos:
de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é subgrupo de
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
-
é o conjunto dos racionais não nulos (ou seja, números racionais diferentes de ). -
é o conjunto dos reais não nulos, com a operação multiplicação. - A pergunta é: o subconjunto
é um subgrupo de ?
Passo 2
Lembra das condições que um subconjunto
de um grupo
precisa satisfazer para ser subgrupo? Para o caso de um grupo multiplicativo as condições essenciais (equivalentes) são:
-
não é vazio. -
(onde é o elemento identidade da multiplicação). - Se
então (fechamento por produto). - Se
então (fechamento por inverso).
Uma forma prática: basta verificar se
e se
é fechado por produto e inversos. Se faltar o
, já dá para concluir que não é subgrupo.
Explicação rápida do porquê: o elemento identidade é o elemento neutro que todo subgrupo herdará do grupo. Se um subconjunto não contém esse elemento neutro, ele não pode ser um subgrupo.
Passo 3
Vamos checar a presença do elemento identidade
em
.
Suponha, por contradição, que
. Então existem
tais que
Como
(pois
), podemos isolar
:
O lado direito
é uma razão de dois números racionais, logo é um número racional. Portanto a igualdade acima implicaria que
é racional, o que contradiz o fato conhecido de que
é irracional.
Logo a suposição é falsa e concluímos que
Observação curta: não existe maneira de escrever
na forma
com
racionais não nulos, porque qualquer escolha de
forçaria
a ser não racional para compensar o termo irracional
.
Passo 4
Como
, o conjunto
não contém o elemento identidade de
. Pela condição básica para subgrupos, isso já é suficiente para concluir que
não é subgrupo de
.
Comentário adicional (útil para a prova): se a definição de
permitisse
(ou seja, permitisse
), então o conjunto
corresponde ao grupo multiplicativo do corpo
e aí sim contém
e é um subgrupo de
. A falha aqui vem justamente da exigência
(isto é,
) que impede
de pertencer ao conjunto.
Resposta
Não,
não é subgrupo de
.