Verifique se são subgrupos:
S_{1}=\{m k \mid k \in Z\}, onde m é um inteiro fixo, de ( Z,+ ).

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto S_{1}=\{m k \mid k \in \mathbb{Z}\} de (\mathbb{Z},+), onde m é um inteiro fixo. A pergunta é: S_{1} é um subgrupo de (\mathbb{Z},+)?
Informações dadas:
  • O grupo ambiente é (\mathbb{Z},+), o conjunto dos inteiros com a adição.
  • O subconjunto em questão é S_{1}=\{m k \mid k \in \mathbb{Z}\}, com m\in\mathbb{Z} fixo.
O que se pede: decidir se S_{1} satisfaz as propriedades necessárias para ser um subgrupo de (\mathbb{Z},+).

Passo 2

Lembrete (definição e propriedades que vou usar). Para um grupo aditivo (G,+), um subconjunto H\subseteq G é subgrupo se e somente se:
  1. 0 (elemento identidade de G) pertence a H;
  2. H é fechado sob a operação do grupo: se a,b\in H então a+b\in H;
  3. H é fechado sob inversos: se a\in H então -a\in H.
Explicando de forma bem simples:
  • O elemento identidade de (\mathbb{Z},+) é 0 porque a+0=a para todo a\in\mathbb{Z}.
  • O inverso de um inteiro a é -a, porque a+(-a)=0.
    Vou verificar as três condições acima para S_{1}.

Passo 3

Verificar que 0\in S_{1}.
Escolhendo k=0 (que é um inteiro), temos
m\cdot 0 = 0.
Como 0 é da forma m k com k\in\mathbb{Z}, segue que 0\in S_{1}. Portanto a identidade do grupo está em S_{1}.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição: se a,b\in S_{1} então a+b\in S_{1}.
Sejam a,b\in S_{1}. Então existem k_{1},k_{2}\in\mathbb{Z} tais que
a = m k_{1},\qquad b = m k_{2}.
Somando,
a+b = m k_{1} + m k_{2} = m (k_{1}+k_{2}).
Como a soma de dois inteiros é inteiro, k_{1}+k_{2}\in\mathbb{Z}. Logo a+b é da forma m vezes um inteiro, isto é, a+b\in S_{1}. Assim S_{1} é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob inversos: se a\in S_{1} então -a\in S_{1}.
Se a\in S_{1} então existe k\in\mathbb{Z} com a = m k. Então
-a = - (m k) = m(-k).
Como -k\in\mathbb{Z}, segue que -a\in S_{1}. Portanto S_{1} contém inversos de todos os seus elementos.

Passo 6

Conclusão e observações finais. Como S_{1} contém 0, é fechado sob adição e contém inversos, as três condições de subgrupo são satisfeitas. Portanto S_{1} é um subgrupo de (\mathbb{Z},+) para qualquer inteiro fixo m.
Observações úteis para a prova (memorização rápida):
  • Quando m=0 tem-se S_{1}=\{0\}, o subgrupo trivial.
  • Quando m=\pm 1 tem-se S_{1}=\mathbb{Z}, o próprio grupo.
  • Para m\neq 0, S_{1} é o conjunto de múltiplos de m, frequentemente denotado por m\mathbb{Z}.

Resposta

Sim. Para todo inteiro m, S_{1}=\{m k \mid k\in\mathbb{Z}\} é subgrupo de (\mathbb{Z},+).

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