Verifique se são subgrupos:
, onde
é um inteiro fixo, de (
).
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
, onde
é um inteiro fixo. A pergunta é:
é um subgrupo de
?
Informações dadas:
- O grupo ambiente é
, o conjunto dos inteiros com a adição. - O subconjunto em questão é
, com fixo.
O que se pede: decidir se
satisfaz as propriedades necessárias para ser um subgrupo de
.
Passo 2
Lembrete (definição e propriedades que vou usar). Para um grupo aditivo
, um subconjunto
é subgrupo se e somente se:
-
(elemento identidade de ) pertence a ; -
é fechado sob a operação do grupo: se então ; -
é fechado sob inversos: se então .
Explicando de forma bem simples:
- O elemento identidade de
é porque para todo . - O inverso de um inteiro
é , porque .
Vou verificar as três condições acima para.
Passo 3
Verificar que
.
Escolhendo
(que é um inteiro), temos
Como
é da forma
com
, segue que
. Portanto a identidade do grupo está em
.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição: se
então
.
Sejam
. Então existem
tais que
Somando,
Como a soma de dois inteiros é inteiro,
. Logo
é da forma
vezes um inteiro, isto é,
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob inversos: se
então
.
Se
então existe
com
. Então
Como
, segue que
. Portanto
contém inversos de todos os seus elementos.
Passo 6
Conclusão e observações finais. Como
contém
, é fechado sob adição e contém inversos, as três condições de subgrupo são satisfeitas. Portanto
é um subgrupo de
para qualquer inteiro fixo
.
Observações úteis para a prova (memorização rápida):
- Quando
tem-se , o subgrupo trivial. - Quando
tem-se , o próprio grupo. - Para
, é o conjunto de múltiplos de , frequentemente denotado por .
Resposta
Sim. Para todo inteiro
,
é subgrupo de
.