Considere a operação x * y=x+y+x y, mostre que (\mathbb{R} \backslash\{-1\}, *) é um grupo. Encontre a solução da equação 2 * x * 3=7 no grupo.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária * em \mathbb{R} por
x * y = x + y + x y,
e pede duas coisas:
  • Mostrar que \bigl(\mathbb{R}\setminus\{-1\},*\bigr) é um grupo.
  • Resolver a equação 2 * x * 3 = 7 no referido grupo.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A operação * está definida para todo x,y\in\mathbb{R}; porém o enunciado pede que consideremos o conjunto \mathbb{R}\setminus\{-1\} (ou seja, todos os reais exceto -1).
  • Precisamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) dentro de \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  • A equação 2 * x * 3 = 7 usa a operação * duas vezes; como um grupo exige associatividade, podemos interpretar sem ambiguidade 2 * x * 3 como (2 * x) * 3 (ou 2 * (x * 3)).

Passo 2

O que é preciso provar para mostrar que \bigl(\mathbb{R}\setminus\{-1\},*\bigr) é um grupo?
Lembrete rápido e didático sobre grupos:
  • Um conjunto G com uma operação binária \circ é grupo se satisfaz quatro propriedades:
    1. Fechamento: para todo a,b\in G, tem-se a\circ b\in G.
    2. Associatividade: para todo a,b,c\in G, (a\circ b)\circ c = a\circ(b\circ c).
    3. Elemento neutro: existe e\in G tal que e\circ a = a\circ e = a para todo a\in G.
    4. Inversos: para cada a\in G existe a^{-1}\in G com a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e.
Vou mostrar cada propriedade para a operação x*y=x+y+xy em \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Para facilitar a prova e torná-la clara, vou usar uma ideia muito útil: tentar relacionar * a uma operação já conhecida e bem comportada (multiplicação usual em \mathbb{R}\setminus\{0\}). Isso simplifica especialmente a associatividade e a existência de inversos.

Passo 3

Construir um homomorfismo simples que transforma * em multiplicação.
Defina a função
f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\longrightarrow\mathbb{R}\setminus\{0\},\qquad f(x)=x+1.
Explicando devagar: para cada x\neq-1, x+1 é um número real diferente de zero, por isso a imagem está em \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Agora calcule f(x*y). Lembre-se x*y=x+y+xy. Então
f(x*y) = (x*y)+1 = (x+y+xy)+1.
Agrupando termos dá
(x+y+xy)+1 = x+y+xy+1 = (x+1)(y+1).
Portanto chegamos à identidade fundamental:
f(x*y)= (x+1)(y+1) = f(x)\,f(y).
Isto mostra que f é um homomorfismo entre o semigrupo (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*) e o semigrupo multiplicativo (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot).

Passo 4

Usar o homomorfismo para transferir propriedades do grupo multiplicativo.
Como f satisfaz f(x*y)=f(x)f(y), e como f é bijetora (inversa explícita f^{-1}(t)=t-1 para todo t\neq0), f é um isomorfismo de estruturas algébricas entre (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*) e (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot).
Sabendo que (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot) é um grupo (propriedades bem conhecidas: produto de não nulos é não nulo — fechamento; multiplicação é associativa; elemento neutro é 1; todo t\neq0 tem inverso t^{-1}), podemos concluir que (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*) também é um grupo, porque um isomorfismo preserva as propriedades de grupo (associatividade, identidade, inversos e fechamento).
Vou explicitar os elementos correspondentes (isto é útil para a prova e também para resolver equações depois).

Passo 5

Encontrar o elemento neutro em (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*).
Seja e o neutro para *. Aplicando f, f(e) deve ser o neutro multiplicativo em \mathbb{R}\setminus\{0\}, que é 1. Logo
f(e) = e + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad e = 0.
Verificação direta rápida (para fixar a intuição): para todo x,
0 * x = 0 + x + 0\cdot x = x,\qquad x * 0 = x + 0 + x\cdot 0 = x.
Portanto o elemento neutro de (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*) é 0.

Passo 6

Encontrar o inverso de um elemento x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Queremos y tal que x * y = 0 (neutro). Usando o isomorfismo, f(y) deve ser o inverso multiplicativo de f(x)=x+1, ou seja f(y)=(x+1)^{-1}. Assim
y+1 = \frac{1}{x+1} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{x+1}-1.
Simplificando a fração:
y = \frac{1-(x+1)}{x+1} = \frac{-x}{x+1}.
Conclusão: o inverso de x em (\mathbb{R}\setminus\{-1\},*) é
x^{-1} = \frac{-x}{x+1},
e essa fórmula é bem definida porque x\neq-1 implica x+1\neq0.
Verificação direta (para tranquilidade): calcule x * \dfrac{-x}{x+1} e veja que resulta 0. (Com rodinha: x + \dfrac{-x}{x+1} + x\cdot\dfrac{-x}{x+1}=0.)

Passo 7

Propriedades adicionais úteis e checagem de fechamento e comutatividade.
Fechamento: se x,y\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} então f(x),f(y)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, seu produto f(x)f(y)\neq0, e portanto f(x*y)=f(x)f(y)\neq0. Logo x*y \neq -1, ou seja x*y\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Assim o conjunto é fechado sob *.
Comutatividade: como x*y = x+y+xy = y+x+yx = y*x, a operação é comutativa; portanto o grupo é abeliano.
Associatividade: decorre do fato de f ser isomorfismo para a multiplicação, que é associativa; alternativamente pode-se verificar algebraicamente expandindo (x*y)*z e x*(y*z) e constatando que os dois dão (x+1)(y+1)(z+1)-1.
Com isso, todas as condições de grupo foram verificadas explicitamente.

Passo 8

Resolver a equação 2 * x * 3 = 7.
Duas maneiras equivalentes: usar o isomorfismo f (muito direto) ou expandir usando definição e resolver linearmente. Vou mostrar as duas breves formas (a primeira é mais elegante).
Método via isomorfismo:
  • Aplique f aos dois lados da equação. Como f é homomorfismo,
f(2 * x * 3) = f(2)\,f(x)\,f(3).
  • Calcule f(2)=2+1=3, f(3)=3+1=4, e f(7)=7+1=8.
  • Então a equação 2 * x * 3 = 7 torna-se
3\cdot f(x)\cdot 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad 12\,f(x)=8.
  • Logo f(x)=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.
  • Como f(x)=x+1, tem-se
x+1=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}.
Verificação direta (expansão, para confirmar):
  • Primeiro 2 * x = 2 + x + 2x = 2 + 3x.
  • Depois (2 * x) * 3 = (2+3x) + 3 + (2+3x)\cdot 3.
  • Calcule: (2+3x) + 3 + 6 + 9x = (2+3+6) + (3x+9x) = 11 + 12x.
  • Igualando a 7: 11 + 12x = 7 12x = -4 x = -\tfrac{1}{3}. Confere.

Resposta

(\mathbb{R}\setminus{-1},*) é um grupo abeliano; o elemento neutro é 0 e o inverso de x é x^{-1}=\dfrac{-x}{x+1}.
x=-\dfrac{1}{3}

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