Considere a operação
, mostre que
é um grupo. Encontre a solução da equação
no grupo.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária
em
por
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é um grupo. - Resolver a equação
no referido grupo.
Informações dadas e observações imediatas:
- A operação
está definida para todo ; porém o enunciado pede que consideremos o conjunto (ou seja, todos os reais exceto ). - Precisamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) dentro de
. - A equação
usa a operação duas vezes; como um grupo exige associatividade, podemos interpretar sem ambiguidade como (ou ).
Passo 2
O que é preciso provar para mostrar que
é um grupo?
Lembrete rápido e didático sobre grupos:
- Um conjunto
com uma operação binária é grupo se satisfaz quatro propriedades: - Fechamento: para todo
, tem-se . - Associatividade: para todo
, . - Elemento neutro: existe
tal que para todo . - Inversos: para cada
existe com .
- Fechamento: para todo
Vou mostrar cada propriedade para a operação
em
. Para facilitar a prova e torná-la clara, vou usar uma ideia muito útil: tentar relacionar
a uma operação já conhecida e bem comportada (multiplicação usual em
). Isso simplifica especialmente a associatividade e a existência de inversos.
Passo 3
Construir um homomorfismo simples que transforma
em multiplicação.
Defina a função
Explicando devagar: para cada
,
é um número real diferente de zero, por isso a imagem está em
.
Agora calcule
. Lembre-se
. Então
Agrupando termos dá
Portanto chegamos à identidade fundamental:
Isto mostra que
é um homomorfismo entre o semigrupo
e o semigrupo multiplicativo
.
Passo 4
Usar o homomorfismo para transferir propriedades do grupo multiplicativo.
Como
satisfaz
, e como
é bijetora (inversa explícita
para todo
),
é um isomorfismo de estruturas algébricas entre
e
.
Sabendo que
é um grupo (propriedades bem conhecidas: produto de não nulos é não nulo — fechamento; multiplicação é associativa; elemento neutro é
; todo
tem inverso
), podemos concluir que
também é um grupo, porque um isomorfismo preserva as propriedades de grupo (associatividade, identidade, inversos e fechamento).
Vou explicitar os elementos correspondentes (isto é útil para a prova e também para resolver equações depois).
Passo 5
Encontrar o elemento neutro em
.
Seja
o neutro para
. Aplicando
,
deve ser o neutro multiplicativo em
, que é
. Logo
Verificação direta rápida (para fixar a intuição): para todo
,
Portanto o elemento neutro de
é
.
Passo 6
Encontrar o inverso de um elemento
.
Queremos
tal que
(neutro). Usando o isomorfismo,
deve ser o inverso multiplicativo de
, ou seja
. Assim
Simplificando a fração:
Conclusão: o inverso de
em
é
e essa fórmula é bem definida porque
implica
.
Verificação direta (para tranquilidade): calcule
e veja que resulta
. (Com rodinha:
.)
Passo 7
Propriedades adicionais úteis e checagem de fechamento e comutatividade.
Fechamento: se
então
, seu produto
, e portanto
. Logo
, ou seja
. Assim o conjunto é fechado sob
.
Comutatividade: como
, a operação é comutativa; portanto o grupo é abeliano.
Associatividade: decorre do fato de
ser isomorfismo para a multiplicação, que é associativa; alternativamente pode-se verificar algebraicamente expandindo
e
e constatando que os dois dão
.
Com isso, todas as condições de grupo foram verificadas explicitamente.
Passo 8
Resolver a equação
.
Duas maneiras equivalentes: usar o isomorfismo
(muito direto) ou expandir usando definição e resolver linearmente. Vou mostrar as duas breves formas (a primeira é mais elegante).
Método via isomorfismo:
- Aplique
aos dois lados da equação. Como é homomorfismo,
- Calcule
, , e . - Então a equação
torna-se
- Logo
. - Como
, tem-se
Verificação direta (expansão, para confirmar):
- Primeiro
. - Depois
. - Calcule:
. - Igualando a
: → → . Confere.
Resposta
(\mathbb{R}\setminus{-1},*) é um grupo abeliano; o elemento neutro é
e o inverso de
é
.