1. Seja G=\left[a^{2}\right] um grupo de ordem 6. Sendo H=\left[a^{2}\right], construa a tábua do grupo G / H.

Passo 1

O enunciado nos dá um grupo cíclico G=\langle a\rangle de ordem 6 e o subgrupo
H=\langle a^{2}\rangle.
Como \lvert G\rvert=6 e \lvert H\rvert=3, o grupo quociente G/H terá ordem
\frac{\lvert G\rvert}{\lvert H\rvert}=\frac{6}{3}=2.
Queremos, portanto, listar as classes laterais (cosets) de H em G e construir a tábua de multiplicação dessas classes.

Passo 2

Em primeiro lugar, identifiquemos o subgrupo
H=\langle a^{2}\rangle=\{e,\;a^{2},\;a^{4}\}.
Como G é abeliano, todo subgrupo é normal, logo as classes laterais são simplesmente
H\quad\text{e}\quad aH=\{a,\;a^{3},\;a^{5}\}.

Passo 3

Agora determinamos como multiplicar essas duas classes. Em geral, para classes laterais num grupo abeliano vale
(xH)\,(yH)=(xy)H.
Logo temos os casos:
H\cdot H = eH = H, \quad H\cdot aH = aH, \quad aH\cdot H = aH, \quad aH\cdot aH = a^{2}H = H
(sabendo que a^{2}H=H porque a^{2}\in H).

Passo 4

Com isso, a tábua de multiplicação de G/H com os elementos \{H,\;aH\} fica
\begin{array}{c|cc} \cdot & H & aH\\hline H & H & aH\\\ aH & aH & H \end{array}

Resposta

\begin{array}{c|cc} \cdot & H & aH\\hline H & H & aH\\\ aH & aH & H \end{array}

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