Em um trabalho de monitoramento de uma barragem, a distância entre os pilares foi medida utilizando ção total. A partir dos dados das tabelas, calcule as distâncias horizontais entre os pilares.
Distâncias
Angulo
zenital
Distância
Inclinada
Pilar 01 - Pilar 02 89^{\circ} 7^{\prime} 59^{\prime \prime} 757,9210
Pilar 02 - Pilar 01 90^{\circ} 50^{\prime} 22^{\prime \prime} 757,9122
Pilar 02 - Pilar 03 96^{\circ} 19^{\prime} 18^{\prime \prime} 596,4980
Pilar 03 - Pilar 02 83^{\circ} 38^{\prime} 20^{\prime \prime} 596,5492

Passo 1

O enunciado fornece medições de ângulo zenital e distância inclinada entre pares de pilares e pede a distância horizontal entre eles. O conteúdo usado é trigonometria aplicada em topografia: a relação entre distância inclinada s, ângulo zenital z e distância horizontal H.

Passo 2

Em topografia, o ângulo zenital z é medido a partir do zênite (vertical). Se desenharmos o triângulo vertical associado à medição, a projeção horizontal H da distância inclinada s é dada por
H = s \,\sin(z)
pois \sin(z) é o cateto oposto ao ângulo z sobre a hipotenusa s.

Passo 3

Cálculo para o par Pilar 01–Pilar 02.
Converter cada ângulo zenital em graus decimais:
\begin{aligned} z_1 &= 89^\circ 7'59'' = 89 + \frac{7}{60} + \frac{59}{3600} = 89{,}1330556^\circ,\\\ z_2 &= 90^\circ 50'22'' = 90 + \frac{50}{60} + \frac{22}{3600} = 90{,}8394444^\circ. \end{aligned}
Calcular cada projeção horizontal:
\begin{aligned} H_1 &= 757{,}9210 \times \sin\bigl(89{,}1330556^\circ\bigr) \approx 757{,}8311,\\\ H_2 &= 757{,}9122 \times \sin\bigl(90{,}8394444^\circ\bigr) \approx 757{,}8308. \end{aligned}

Passo 4

Fazer a média das duas medições para obter a distância horizontal final entre Pilar 01 e Pilar 02:
H_{12} = \frac{H_1 + H_2}{2} = \frac{757{,}8311 + 757{,}8308}{2} \approx 757{,}8310.

Passo 5

Cálculo para o par Pilar 02–Pilar 03.
Converter os ângulos zenitais:
\begin{aligned} z_3 &= 96^\circ 19'18'' = 96 + \frac{19}{60} + \frac{18}{3600} = 96{,}3216667^\circ,\\\ z_4 &= 83^\circ 38'20'' = 83 + \frac{38}{60} + \frac{20}{3600} = 83{,}6388889^\circ. \end{aligned}
Calcular as projeções horizontais:
\begin{aligned} H_3 &= 596{,}4980 \times \sin\bigl(96{,}3216667^\circ\bigr) \approx 592{,}8651,\\\ H_4 &= 596{,}5492 \times \sin\bigl(83{,}6388889^\circ\bigr) \approx 592{,}8682. \end{aligned}

Passo 6

Média das duas medições para Pilar 02–Pilar 03:
H_{23} = \frac{H_3 + H_4}{2} = \frac{592{,}8651 + 592{,}8682}{2} \approx 592{,}8667.

Resposta

Distância horizontal entre Pilar 01 e Pilar 02: 757{,}8310,m
Distância horizontal entre Pilar 02 e Pilar 03: 592{,}8667,m

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