Sejam G=\left(\mathbb{Z}_{12},+\right) e H=\{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo quociente (G / H,+), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de \overline{1}+H e \overline{2}+H.
Passo 1
O enunciado define o grupo abeliano G=(\mathbb{Z}_{12},+) e o subgrupo H=\{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\}. Pede-se (a) construir a tábua de adição do grupo quociente G/H, (b) identificar seu elemento neutro e (c) achar os inversos aditivos de \overline{1}+H e \overline{2}+H. Para isso precisamos listar as classes laterais de H em G e usar a operação (\overline{a}+H)+(\overline{b}+H)=\overline{a+b}+H.
Passo 2
As classes laterais de H são obtidas somando cada representante em \{0,1,2,3\} a todos os elementos de H. Elas são:
onde a soma i+j é feita em \mathbb{Z}_{12} e, em seguida, reduzida a um representante em \{0,1,2,3\}. O resultado é isomorfo a \mathbb{Z}_4. A tábua fica:
O elemento neutro é \overline{0}+H.
Os inversos aditivos são \displaystyle (\overline{1}+H)^{-1}=\overline{3}+H \displaystyle (\overline{2}+H)^{-1}=\overline{2}+H.