1. Sejam G=\left(\mathbb{Z}_{12},+\right) e H=\{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo quociente (G / H,+), identifique seu elemento neutro e os inversos (aditivos) de \overline{1}+H e \overline{2}+H.

Passo 1

O enunciado define o grupo abeliano G=(\mathbb{Z}_{12},+) e o subgrupo H=\{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\}. Pede-se (a) construir a tábua de adição do grupo quociente G/H, (b) identificar seu elemento neutro e (c) achar os inversos aditivos de \overline{1}+H e \overline{2}+H. Para isso precisamos listar as classes laterais de H em G e usar a operação (\overline{a}+H)+(\overline{b}+H)=\overline{a+b}+H.

Passo 2

As classes laterais de H são obtidas somando cada representante em \{0,1,2,3\} a todos os elementos de H. Elas são:
\overline{0}+H = \{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\},\quad \overline{1}+H = \{\overline{1},\overline{5},\overline{9}\},
\overline{2}+H = \{\overline{2},\overline{6},\overline{10}\},\quad \overline{3}+H = \{\overline{3},\overline{7},\overline{11}\}.
Como |G|/|H|=12/3=4, estas quatro classes esgotam G/H.

Passo 3

Para montar a tábua, note que
(\overline{i}+H)+(\overline{j}+H) =\overline{i+j}+H,
onde a soma i+j é feita em \mathbb{Z}_{12} e, em seguida, reduzida a um representante em \{0,1,2,3\}. O resultado é isomorfo a \mathbb{Z}_4. A tábua fica:
\begin{array}{c|cccc} + & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H \\\ \hline \overline{0}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H \\\ \overline{1}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H \\\ \overline{2}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H \\\ \overline{3}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \end{array}

Passo 4

O elemento neutro do quociente é a classe \overline{0}+H, pois para todo \overline{x}+H vale
(\overline{x}+H)+(\overline{0}+H) =\overline{x+0}+H =\overline{x}+H.

Passo 5

O inverso aditivo de uma classe \overline{a}+H é a classe \overline{b}+H tal que \overline{a+b}+H=\overline{0}+H. Assim:
  • Para \overline{1}+H, como 1+3\equiv0\pmod{4},
    o inverso é \overline{3}+H.
  • Para \overline{2}+H, como 2+2\equiv0\pmod{4},
    o inverso é \overline{2}+H (é elemento de ordem 2).

Resposta

A tábua de G/H é
\begin{array}{c|cccc} + & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H \\\ \hline \overline{0}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H \\\ \overline{1}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H \\\ \overline{2}+H & \overline{2}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H \\\ \overline{3}+H & \overline{3}+H & \overline{0}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \end{array}
O elemento neutro é \overline{0}+H.
Os inversos aditivos são \displaystyle (\overline{1}+H)^{-1}=\overline{3}+H \displaystyle (\overline{2}+H)^{-1}=\overline{2}+H.

Exercícios relacionados