1. Seja H=[a] um subgrupo de G=G L(2, \mathbb{R}), onde a=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\\\ 1 / 2 & 0\end{array}\right] e seja, x=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right]. Calcule as classes laterais x H e H x e verifique se H \triangleleft G.

Passo 1

O enunciado diz que temos o grupo G = GL(2,\mathbb{R}) e o subgrupo cíclico
H = \langle a\rangle,\quad a = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] \tfrac12 & 0\end{pmatrix},
além do elemento
x = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
O problema pede para calcular as classes laterais xH e Hx e verificar se H é normal em G.]

Passo 2

Primeiro determinamos as potências de a.
a^2 = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] \tfrac12 & 0\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = -I,
a^3 = a^2\,a = (-I)a = -a, \qquad a^4 = a^2\,a^2 = (-I)(-I) = I.
Logo
H = \{\,I,\;a,\;a^2=-I,\;a^3=-a\}\quad\text{(ordem 4).}]

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle xH = \{\,x\,a^k : k=0,1,2,3\}.
x\,a = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] \tfrac12 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] \tfrac32 & 0\end{pmatrix},
x\,a^2 = x(-I) = -x = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \qquad x\,a^3 = x(-a) = -\,x\,a = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -\tfrac32 & 0\end{pmatrix}.
Portanto
xH = \left\{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] \tfrac32 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -\tfrac32 & 0\end{pmatrix} \right\}.]

Passo 4

Em seguida \displaystyle Hx = \{\,a^k\,x : k=0,1,2,3\}.
a\,x = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -6 \\[4pt] \tfrac12 & 1\end{pmatrix},
a^2\,x = (-I)x = -x = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \qquad a^3\,x = (-a)x = -\begin{pmatrix}0 & -6 \\[4pt] \tfrac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 6 \\[4pt] -\tfrac12 & -1\end{pmatrix}.
Assim
Hx = \left\{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -6 \\[4pt] \tfrac12 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 6 \\[4pt] -\tfrac12 & -1\end{pmatrix} \right\}.]

Passo 5

Para H ser normal em G precisaríamos ter xH = Hx para todo x. Mas, por exemplo,
x\,a = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] \tfrac32 & 0\end{pmatrix} \quad\notin\quad Hx,
pois em Hx o elemento de posto (2,1) vale 0,\tfrac12 ou -\tfrac12, nunca \tfrac32. Logo xH\neq Hx e H não é normal em G.]

Resposta

xH = \left\{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] \tfrac32 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -\tfrac32 & 0\end{pmatrix} \right\},
Hx = \left\{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -6 \\[4pt] \tfrac12 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 6 \\[4pt] -\tfrac12 & -1\end{pmatrix} \right\},
e H não é normal em G.]

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