Seja G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear definida por G(x, y)=(x, 2 x-3 y, y). Determine a matriz de g em relação às bases B=\{(1,1),(1,0)\} de \mathbb{R}^{2} e C a base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
G(x,y) = (x,\;2x-3y,\;y).
As bases fornecidas são B=\{(1,1),\,(1,0)\} para \mathbb{R}^2 e C que é a base canônica de \mathbb{R}^3. A pergunta é: determinar a matriz de G em relação às bases B (no domínio) e C (no contradomínio).
Informações relevantes dadas:
  • A transformação G está explícita (cada componente em função de x,y).
  • A base B possui os vetores b_1=(1,1) e b_2=(1,0).
  • A base C é a base canônica de \mathbb{R}^3, isto é, e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).

Passo 2

Entendendo o que é pedir a "matriz de G em relação às bases B e C". Vou explicar devagarinho e sem enrolação:
  • Quando queremos a matriz de uma transformação linear em relação a uma base B no domínio e uma base C no contradomínio, o procedimento prático é: aplicar G em cada vetor da base B e escrever as imagens nas coordenadas da base C.
  • Cada imagem G(b_j) fornece a j-ésima coluna da matriz buscada, quando essas coordenadas são tomadas em relação à base C.
  • Como C é a base canônica de \mathbb{R}^3, as coordenadas de um vetor da forma (u,v,w) na base C são simplesmente os próprios componentes u,v,w. Então não precisamos resolver sistemas para mudar de base no contradomínio — é direto.
Resumindo: calcular G(b_1) e G(b_2) e colocar esses vetores como colunas, nessa ordem, resulta na matriz de G relativa a B (colunas) e C (linhas).

Passo 3

Calcular G do primeiro vetor da base B. O primeiro vetor é b_1=(1,1). Substituo x=1 e y=1 em G(x,y):
G(1,1) = (\,1,\;2\cdot 1 - 3\cdot 1,\;1\,).
Agora faço as contas das componentes:
2\cdot 1 - 3\cdot 1 = 2 - 3 = -1.
Portanto
G(1,1) = (1,\,-1,\,1).
Como a base C é canônica, as coordenadas de G(1,1) em C são exatamente (1,-1,1). Esta será a primeira coluna da matriz.

Passo 4

Calcular G do segundo vetor da base B. O segundo vetor é b_2=(1,0). Substituo x=1 e y=0 em G(x,y):
G(1,0) = (\,1,\;2\cdot 1 - 3\cdot 0,\;0\,).
Faço as contas:
2\cdot 1 - 3\cdot 0 = 2 - 0 = 2.
Logo
G(1,0) = (1,\,2,\,0).
As coordenadas em C são (1,2,0). Esta será a segunda coluna da matriz.

Passo 5

Agora monto a matriz colocando as imagens calculadas como colunas, na ordem dos vetores da base B: primeira coluna G(1,1)=(1,-1,1), segunda coluna G(1,0)=(1,2,0). Assim obtemos a matriz 3\times 2
\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicando para não restarem dúvidas: a primeira coluna corresponde à imagem do primeiro vetor de B, a segunda coluna à imagem do segundo vetor de B; cada linha corresponde respectivamente às componentes nas direções e_1,e_2,e_3 da base canônica C.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}]

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