Verifique se a função G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por G(x, y)=(x, 2 x-3 y, y) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a função G:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
G(x,y) = (x,\;2x-3y,\;y).
A pergunta é: verificar se G é uma transformação linear (ou seja, se G é linear).
Informações relevantes: a função está definida para entradas (x,y)\in\mathbb{R}^2 e retorna um vetor em \mathbb{R}^3 com cada coordenada dada por combinações lineares de x e y.

Passo 2

Lembrete (definição didática e clara): uma aplicação T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é linear se satisfaz duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^n e todo escalar c\in\mathbb{R}:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(cu)=c\,T(u).
Significado das coisas: u e v são vetores de entrada, c é um número real; aditividade significa que a imagem da soma é a soma das imagens; homogeneidade significa que puxar um escalar antes ou depois de aplicar T é equivalente. Essas duas propriedades juntas caracterizam linearidade.

Passo 3

Método prático (matrizar): se uma função tem cada coordenada expressa como combinação linear das componentes de entrada, ela pode ser escrita como multiplicação por uma matriz. Escrevemos o vetor de entrada como \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Procuramos uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times 2} tal que
G(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Comparando coordenadas de G(x,y)=(x,\;2x-3y,\;y) com o produto matricial, vemos que as linhas de A devem ser:
primeira linha (1\;0) para obter x,
segunda linha (2\;-3) para obter 2x-3y,
terceira linha (0\;1) para obter y.
Logo
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 2 & -3\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
e é fácil verificar que
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 2 & -3\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[4pt] 2x-3y\\[4pt] y \end{pmatrix} =G(x,y).]

Passo 4

Por que isso basta? Propriedade fundamental: multiplicação por matriz é uma transformação linear, porque para qualquer matriz A e quaisquer vetores u,v e escalar c vale
A(u+v)=Au+Av\quad\text{e}\quad A(cu)=c(Au).
Portanto, como G(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} para a matriz A acima, G satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.]

Passo 5

Verificação direta (opcional, mas didática): para fixar a ideia, faça a conta direta com (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
G(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = (x_1+x_2,\;2(x_1+x_2)-3(y_1+y_2),\;y_1+y_2)
\qquad= (x_1,2x_1-3y_1,y_1) + (x_2,2x_2-3y_2,y_2) = G(x_1,y_1)+G(x_2,y_2).
E para escalar c:
G(cx,cy) = (cx,\;2(cx)-3(cy),\;cy) = c(x,2x-3y,y)=c\,G(x,y).
Isso confirma aditividade e homogeneidade diretamente.

Resposta

Sim. G é uma transformação linear (pois G(x,y)=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]2&-3\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}).]

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