Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do \mathbb{R}^{2} em relação às bases indicadas:
(a) F(x, y)=(2 x, y-x) e base canônica;
Passo 1
O enunciado dá o operador linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
F(x,y)=(2x,\;y-x),
e pede a representação matricial de F em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.
Informações relevantes do enunciado:
A função F está definida para vetores (x,y)\in\mathbb{R}^2.
A base indicada é a base canônica de \mathbb{R}^2, cujos vetores são (1,0) e (0,1).
O objetivo é encontrar a matriz A tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2, as coordenadas de F(v) na base canônica sejam obtidas por multiplicação matricial A\cdot v (onde v é escrito pelas suas coordenadas na base canônica).
Passo 2
Lembremos (passo didático): a base canônica de \mathbb{R}^2 é formada por
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Na base canônica, as coordenadas de um vetor são exatamente seus componentes. Para obter a matriz de um operador linear numa dada base, calculamos as imagens dos vetores da base e escrevemos essas imagens como colunas da matriz (expressas na mesma base). Vou aplicar isso diretamente.
Passo 3
Calcular F(e_1), onde e_1=(1,0). Substituindo na definição de F:
F(1,0) = (2\cdot 1,\; 0-1) = (2,\;-1).
Esse par (2,-1) são as coordenadas da imagem de e_1 na base canônica.
Passo 4
Calcular F(e_2), onde e_2=(0,1). Substituindo:
F(0,1) = (2\cdot 0,\; 1-0) = (0,\;1).
Esse par (0,1) são as coordenadas da imagem de e_2 na base canônica.
Passo 5
Montar a matriz usando as imagens das bases como colunas (na mesma ordem dos vetores da base): a primeira coluna é F(e_1) e a segunda coluna é F(e_2). Assim a matriz A em relação à base canônica é
mesmo resultado — consistência confirmada. Vai dar tudo certo na prova, respira que esse processo é sempre o mesmo: imagens dos vetores da base → colunas da matriz.