Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do \mathbb{R}^{2} em relação às bases indicadas:
(a) F(x, y)=(2 x, y-x) e base canônica;

Passo 1

O enunciado dá o operador linear F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
F(x,y)=(2x,\;y-x),
e pede a representação matricial de F em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função F está definida para vetores (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • A base indicada é a base canônica de \mathbb{R}^2, cujos vetores são (1,0) e (0,1).
  • O objetivo é encontrar a matriz A tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2, as coordenadas de F(v) na base canônica sejam obtidas por multiplicação matricial A\cdot v (onde v é escrito pelas suas coordenadas na base canônica).

Passo 2

Lembremos (passo didático): a base canônica de \mathbb{R}^2 é formada por
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Na base canônica, as coordenadas de um vetor são exatamente seus componentes. Para obter a matriz de um operador linear numa dada base, calculamos as imagens dos vetores da base e escrevemos essas imagens como colunas da matriz (expressas na mesma base). Vou aplicar isso diretamente.

Passo 3

Calcular F(e_1), onde e_1=(1,0). Substituindo na definição de F:
F(1,0) = (2\cdot 1,\; 0-1) = (2,\;-1).
Esse par (2,-1) são as coordenadas da imagem de e_1 na base canônica.

Passo 4

Calcular F(e_2), onde e_2=(0,1). Substituindo:
F(0,1) = (2\cdot 0,\; 1-0) = (0,\;1).
Esse par (0,1) são as coordenadas da imagem de e_2 na base canônica.

Passo 5

Montar a matriz usando as imagens das bases como colunas (na mesma ordem dos vetores da base): a primeira coluna é F(e_1) e a segunda coluna é F(e_2). Assim a matriz A em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} \;2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando por que: se v=(x,y) então as coordenadas de v na base canônica são \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Multiplicando A por esse vetor:
\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+0\cdot y\\\\ -1\cdot x + 1\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x\\\ y-x\end{pmatrix},
que coincide com F(x,y). Isso confirma que a matriz está correta.

Passo 6

Verificação numérica simples (aula prática): por exemplo, se v=(3,4) então
F(3,4)=(2\cdot 3,\;4-3)=(6,1).
Usando a matriz A:
A\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\\ 1\end{pmatrix},
mesmo resultado — consistência confirmada. Vai dar tudo certo na prova, respira que esse processo é sempre o mesmo: imagens dos vetores da base → colunas da matriz.

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}]

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