- Seja
a transformação linear dada por
. Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Pede-se: determinar uma base e a dimensão do núcleo (
) e da imagem (
) dessa transformação. Informações úteis fornecidas ou imediatas: o espaço
é o espaço de polinômios reais de grau no máximo
, que tem dimensão
. Uma base padrão conveniente é
. Vou usar essas informações para identificar
e
.
Passo 2
Escrevemos um polinômio genérico de
:
com
. Vamos calcular a segunda derivada de
. Lembrete rápido de derivação para polinômios: a derivada de
é
; aplicar isso duas vezes para obter
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Note que
é uma constante igual a
.
Passo 3
Agora aplicamos
ao polinômio genérico usando
:
Portanto, para qualquer
temos
. Observação importante: a imagem de
depende apenas do coeficiente
do termo
.
Passo 4
Definição e aplicação ao núcleo. Recordando:
. Usando a expressão de
, pedimos
(o polinômio zero). Como
não é o polinômio zero, isso força
, ou seja
. Assim os polinômios do núcleo são exatamente os de forma
Esses polinômios são todas as combinações lineares de
e
, portanto
Verificação de base e independência:
é linearmente independente porque se
para todos os
, então
(coeficiente constante) e
(coeficiente de
). Logo
é uma base do núcleo. Assim
Passo 5
Determinação da imagem. Pela expressão geral
vemos que todos os valores de
são múltiplos de
. Mais formalmente,
Portanto uma base para a imagem é
. Esse conjunto é linearmente independente (um único vetor não nulo é sempre independente), logo
Passo 6
Cheque final usando o teorema posto-nulidade (rank-nullity): para uma transformação linear de um espaço de dimensão
vale
Aqui temos
, consistente com o que encontramos. Também é fácil ver a ação em base padrão:
o que mostra diretamente o comportamento que usamos.
Resposta
Ker: base
,
Im: base ,
Im: base