• Seja F: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear dada por F(p(t))=t^{2} p^{\prime \prime}(t). Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear F: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por
F(p(t)) = t^{2}\,p''(t).
Pede-se: determinar uma base e a dimensão do núcleo ( \ker F) e da imagem ( \operatorname{Im} F) dessa transformação. Informações úteis fornecidas ou imediatas: o espaço P_{2}(\mathbb{R}) é o espaço de polinômios reais de grau no máximo 2, que tem dimensão 3. Uma base padrão conveniente é \{1,t,t^{2}\}. Vou usar essas informações para identificar \ker F e \operatorname{Im} F.

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico de P_{2}(\mathbb{R}):
p(t)=a+bt+ct^{2},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Vamos calcular a segunda derivada de p. Lembrete rápido de derivação para polinômios: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}; aplicar isso duas vezes para obter p''.
Primeira derivada:
p'(t)=b+2ct.
Segunda derivada:
p''(t)=2c.
Note que p''(t) é uma constante igual a 2c.

Passo 3

Agora aplicamos F ao polinômio genérico usando p''(t)=2c:
F(p(t)) = t^{2}\,p''(t) = t^{2}\cdot (2c) = 2c\,t^{2}.
Portanto, para qualquer p(t)=a+bt+ct^{2} temos F(p)=2c\,t^{2}. Observação importante: a imagem de p depende apenas do coeficiente c do termo t^{2}.

Passo 4

Definição e aplicação ao núcleo. Recordando: \ker F = \{p\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid F(p)=0\}. Usando a expressão de F(p), pedimos 2c\,t^{2}=0 (o polinômio zero). Como t^{2} não é o polinômio zero, isso força 2c=0, ou seja c=0. Assim os polinômios do núcleo são exatamente os de forma
p(t)=a+bt \quad\text{com } a,b\in\mathbb{R}.
Esses polinômios são todas as combinações lineares de 1 e t, portanto
\ker F = \operatorname{span}\{1,t\}.
Verificação de base e independência: \{1,t\} é linearmente independente porque se \alpha\cdot 1 + \beta\cdot t = 0 para todos os t, então \alpha=0 (coeficiente constante) e \beta=0 (coeficiente de t). Logo \{1,t\} é uma base do núcleo. Assim
\dim(\ker F) = 2.

Passo 5

Determinação da imagem. Pela expressão geral F(p)=2c\,t^{2} vemos que todos os valores de F são múltiplos de t^{2}. Mais formalmente,
\operatorname{Im} F = \{2c\,t^{2} \mid c\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{t^{2}\}.
Portanto uma base para a imagem é \{t^{2}\}. Esse conjunto é linearmente independente (um único vetor não nulo é sempre independente), logo
\dim(\operatorname{Im} F) = 1.

Passo 6

Cheque final usando o teorema posto-nulidade (rank-nullity): para uma transformação linear de um espaço de dimensão 3 vale
\dim(\ker F) + \dim(\operatorname{Im} F) = 3.
Aqui temos 2 + 1 = 3, consistente com o que encontramos. Também é fácil ver a ação em base padrão:
F(1)=0,\quad F(t)=0,\quad F(t^{2})=2t^{2},
o que mostra diretamente o comportamento que usamos.

Resposta

Ker: base \{1,t\}, \dim(\ker F)=2
Im: base \{t^{2}\}, \dim(\operatorname{Im} F)=1

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