Sejam g: R R e h: R R diferenciáveis, com g(4)=3, g^prime(4)=2, h(2)=9, h^prime(2)=-12. Calcule f^prime(2), onde f(x)=raizg(x^2) raizh(x).
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função complicada no ponto f(x) = raizg(x^2) cdot raizh(x) . A função é:
Aqui, e são funções diferenciáveis, e sabemos alguns valores específicos delas e de suas derivadas em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto da derivada. Ou seja, vamos diferenciar funções compostas e multiplicações de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = [ g(x^2) cdot raizh(x) ]^12 de uma forma que facilite a diferenciação usando potências:
Isso nos ajuda a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada de f'(x) = 12 [u(x)]^-12 cdot u'(x) . Se temos , então:
Aqui, . Precisamos agora encontrar .

Passo 4

Para encontrar u'(x) = ddx ( g(x^2) ) cdot raizh(x) + g(x^2) cdot ddx ( raizh(x) ) , que é a derivada de uma multiplicação de duas funções, usamos a regra do produto:
Agora, vamos diferenciar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos ddx ( g(x^2) ) = g'(x^2) cdot 2x . Aplicando a regra da cadeia novamente:
ddx ( raizh(x) ) = 12 cdot h(x)^-12 cdot h'(x)
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de u'(x) = [ g'(x^2) cdot 2x ] cdot raizh(x) + g(x^2) cdot [ 12 cdot h(x)^-12 cdot h'(x) ] :

Passo 7

Agora, substituímos f'(x) = 12 [ g(x^2) cdot raizh(x) ]^-12 cdot ( [ g'(x^2) cdot 2x ] cdot raizh(x) + g(x^2) cdot [ 12 cdot h(x)^-12 cdot h'(x) ] ) na expressão da derivada de :

Passo 8

Agora, vamos substituir g(2^2) = g(4) = 3 e os valores fornecidos:
  • g'(2^2) = g'(4) = 2
  • h(2) = 9
  • h'(2) = -12
Primeiro, calculamos cada parte:

Passo 9

Substituímos esses valores na expressão de f'(2) = 12 [ 3 cdot raiz9 ]^-12 cdot ( [ 2 cdot 2 ] cdot raiz9 + 3 cdot [ 12 cdot 9^-12 cdot (-12) ] ) :
raiz9 = 3
Simplificando passo a passo:
[ 3 cdot 3 ]^-12 = 9^-12 = 13
2 cdot 2 = 4
12 cdot 9^-12 = 12 cdot 13 = 16
3 cdot 16 cdot (-12) = 3 cdot ( -126 ) = 3 cdot (-2) = -6
f'(2) = 12 cdot 13 cdot ( 4 cdot 3 + (-6) ) = 16 cdot (12 - 6) = 16 cdot 6 = 1
Então, substituindo de volta:

Resposta

1

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