Sejam
e
diferenciáveis, com
. Calcule
, onde
.
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função complicada no ponto
. A função é:
Aqui,
e
são funções diferenciáveis, e sabemos alguns valores específicos delas e de suas derivadas em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto da derivada. Ou seja, vamos diferenciar funções compostas e multiplicações de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a diferenciação usando potências:
Isso nos ajuda a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada de
. Se temos
, então:
Aqui,
. Precisamos agora encontrar
.
Passo 4
Para encontrar
, que é a derivada de uma multiplicação de duas funções, usamos a regra do produto:
Agora, vamos diferenciar cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos
. Aplicando a regra da cadeia novamente:
Em seguida, calculamos
:
Passo 6
Substituindo as derivadas encontradas na expressão de
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão da derivada de
:
Passo 8
Agora, vamos substituir
e os valores fornecidos:
Primeiro, calculamos cada parte:
Passo 9
Substituímos esses valores na expressão de
:
Simplificando passo a passo:
Então, substituindo de volta:
Resposta
1