Seja g(t)=integral0^t f(x) d x. Calcule g^prime(t) e use que F(s)=s G(s) para mostrar que . Em seguida conclua que
[
\mathcal{L}\left{\int_{0}^{t} f(x) d x\right}=\frac{F(s)}{s} \quad ou \quad \mathcal{L}{-1}\left{\frac{F(s)}{s}\right}=\int_{0}{t} f(x) d x .

Passo 1

O enunciado define a função g(t)=integral0^tf(x),dx. O objetivo é calcular g'(t), usar a propriedade Lf'(t)=sF(s)-f(0) para mostrar que F(s)=sG(s) e daí concluir que a transformada de Laplace de integral0^tf(x),dx é F(s)/s. Vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e da propriedade da transformada da derivada.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada da integral é o integrando avaliado no limite variável. Logo,
g'(t)=ddtintegral0^tf(x),dx=f(t)

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace em g'(t). Pela propriedade da derivada temos
Lg'(t)=s,G(s)-g(0)

Passo 4

Como g(0)=integral0^0f(x),dx=0 e g'(t)=f(t), o lado esquerdo é Lf(t)=F(s). Assim
F(s)=s,G(s)

Passo 5

Isolando G(s) obtemos
G(s)=F(s)s,

Passo 6

o que mostra que
Llintegral0^tf(x),dxr=F(s)s,e portantoL^-1ltfracF(s)sr=integral0^tf(x),dx

Resposta

Lintegral0^tf(x),dx=F(s)s ou L^-1F(s)/s=integral0^tf(x),dx.

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