Seja
. Calcule
e use que
para mostrar que
. Em seguida conclua que
[
\mathcal{L}\left{\int_{0}^{t} f(x) d x\right}=\frac{F(s)}{s} \quad ou \quad \mathcal{L}{-1}\left{\frac{F(s)}{s}\right}=\int_{0}{t} f(x) d x .
\mathcal{L}\left{\int_{0}^{t} f(x) d x\right}=\frac{F(s)}{s} \quad ou \quad \mathcal{L}{-1}\left{\frac{F(s)}{s}\right}=\int_{0}{t} f(x) d x .
Passo 1
O enunciado define a função
. O objetivo é calcular
, usar a propriedade
para mostrar que
e daí concluir que a transformada de Laplace de
é
. Vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e da propriedade da transformada da derivada.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada da integral é o integrando avaliado no limite variável. Logo,
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace em
. Pela propriedade da derivada temos
Passo 4
Como
e
, o lado esquerdo é
. Assim
Passo 5
Isolando
obtemos
Passo 6
o que mostra que