Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
sen zz

Passo 1

O enunciado pede para achar a parte principal da função f(z)=sin zz na singularidade isolada em z=0 e classificá-la (polo, essencial ou removível). O conteúdo envolvido é séries de Laurent e singularidades isoladas.

Passo 2

Devemos usar a expansão em série de Taylor de sin z em volta de z=0:
sin z= z - z^33! + z^55!-cdots
Dividindo por z obtemos a série de Laurent de f(z):
sin zz=1 - z^23! + z^45!-cdots

Passo 3

Na série de Laurent obtida não aparece nenhum termo de potência negativa de z. Logo, a parte principal (soma dos termos z^-n, n>0) é 0 e não há divergência no ponto.

Passo 4

Como não existem termos negativos, a singularidade em z=0 é removível.

Resposta

Parte principal: 0. A singularidade em z=0 é removível.

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