Verifique que as funções a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada correspondente. Escreva a função holomorfa .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função u(x,y)=x é harmônica e, em seguida, encontrar v(x,y) tal que f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja holomorfa. O conteúdo envolve funções harmônicas, o Laplaciano e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Para mostrar que u(x,y)=x é harmônica, calculamos o Laplaciano: u_x=1 e u_{xx}=0; u_y=0 e u_{yy}=0. Logo:
uxx+uyy=0+0=0,
o que confirma que u satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Para achar a função harmônica conjugada v(x,y), usamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux=vy e uy=-vx
Como u_x=1, temos v_y=1 ⇒ v(x,y)=y+φ(x). E como u_y=0, isso dá -v_x=0 ⇒ v_x=0 ⇒ φ’(x)=0. Portanto, φ é constante e podemos escolher φ=0.

Passo 4

Assim, uma escolha conveniente é v(x,y)=y. Daí a função holomorfa associada fica:
f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=x+j y

Resposta

v(x,y)=y (até constante arbitrária) e f(z)=x+j y = z

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