Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função u(x,y)=x é harmônica e, em seguida, encontrar v(x,y) tal que f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja holomorfa. O conteúdo envolve funções harmônicas, o Laplaciano e as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Para mostrar que u(x,y)=x é harmônica, calculamos o Laplaciano: u_x=1 e u_{xx}=0; u_y=0 e u_{yy}=0. Logo:
o que confirma que u satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Para achar a função harmônica conjugada v(x,y), usamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como u_x=1, temos v_y=1 ⇒ v(x,y)=y+φ(x). E como u_y=0, isso dá -v_x=0 ⇒ v_x=0 ⇒ φ’(x)=0. Portanto, φ é constante e podemos escolher φ=0.
Passo 4
Assim, uma escolha conveniente é v(x,y)=y. Daí a função holomorfa associada fica:
Resposta
v(x,y)=y (até constante arbitrária) e f(z)=x+j y = z