Seja G o tetraedro do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano
xa+yb+zc=1 (a>0, b>0, c>0)
Relacione seis integrais iteradas diferentes que representem o volume de G.

Passo 1

O exercício pede para expressar o volume do tetraedro no primeiro octante determinado por x≥0, y≥0, z≥0 e pelo plano x/a+y/b+z/c=1 como seis integrais triplas em todas as ordens possíveis. O conteúdo envolve volume de sólido via integrais iteradas e precisaremos escrever os limites para cada permutação das variáveis.

Passo 2

O conjunto G pode ser descrito por
G=(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;xa+yb+zc<=1
Para cada ordem de integração, fixamos a variável externa e vamos obtendo os limites da interna a partir de x/a+y/b+z/c=1.

Passo 3

Para a ordem de integração dx,dy,dz:
V=integralz=0^cintegraly=0^b(1-tfraczc)integralx=0^a(1-tfracyb-tfraczc)dx,dy,dz

Passo 4

Para a ordem de integração dx,dz,dy:
V=integraly=0^bintegralz=0^c(1-tfracyb)integralx=0^a(1-tfracyb-tfraczc)dx,dz,dy

Passo 5

Para a ordem de integração dy,dx,dz:
V=integralz=0^cintegralx=0^a(1-tfraczc)integraly=0^b(1-tfracxa-tfraczc)dy,dx,dz

Passo 6

Para a ordem de integração dy,dz,dx:
V=integralx=0^aintegralz=0^c(1-tfracxa)integraly=0^b(1-tfracxa-tfraczc)dy,dz,dx

Passo 7

Para a ordem de integração dz,dx,dy:
V=integraly=0^bintegralx=0^a(1-tfracyb)integralz=0^c(1-tfracxa-tfracyb)dz,dx,dy

Passo 8

Para a ordem de integração dz,dy,dx:
V=integralx=0^aintegraly=0^b(1-tfracxa)integralz=0^c(1-tfracxa-tfracyb)dz,dy,dx

Resposta

As seis integrais iteradas que representam o volume de G são:
V=integralz=0^cintegraly=0^b(1-tfraczc)integralx=0^a(1-tfracyb-tfraczc)dx,dy,dz
V=integraly=0^bintegralz=0^c(1-tfracyb)integralx=0^a(1-tfracyb-tfraczc)dx,dz,dy
V=integralz=0^cintegralx=0^a(1-tfraczc)integraly=0^b(1-tfracxa-tfraczc)dy,dx,dz
V=integralx=0^aintegralz=0^c(1-tfracxa)integraly=0^b(1-tfracxa-tfraczc)dy,dz,dx
V=integraly=0^bintegralx=0^a(1-tfracyb)integralz=0^c(1-tfracxa-tfracyb)dz,dx,dy
V=integralx=0^aintegraly=0^b(1-tfracxa)integralz=0^c(1-tfracxa-tfracyb)dz,dy,dx

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