Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=4 em torno do eixo x , entre x=-2 e x=2.

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 4 $ é rodada em torno do eixo $ x $, no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 2 $. Vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas. A parábola $ y = x^{2} $ é uma curva que abre para cima, e a reta $ y = 4 $ é uma linha horizontal que corta a parábola. No intervalo de $ x = -2 $ a $ x = 2 $, essas duas curvas delimitam uma região fechada que queremos girar em torno do eixo $ x $.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo $ x $, vamos usar o método dos discos. Esse método nos diz que o volume $ V $ pode ser encontrado integrando a área da seção transversal (um círculo) ao longo do intervalo considerado. A fórmula é:
x
Onde $ R(x) $ é o raio do disco em cada ponto $ x $.

Passo 4

Nesse caso, $ R(x) $ é a distância entre a curva superior e o eixo de rotação. A curva superior é $ y = 4 $ e a curva inferior é $ y = x^{2} $. Então, o raio do disco em cada $ x $ é:
R(x)

Passo 5

Agora, substituímos $ R(x) $ na fórmula do volume:
R(x)

Passo 6

Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
( 4 - x^2 )^2 = 16 - 8x^2 + x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral-2^2 ( 16 - 8x^2 + x^4 ) dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral-2^2 16 , dx = 16x gr|-2^2 = 16(2) - 16(-2) = 32 + 32 = 64
integral-2^2 -8x^2 , dx = -8 cdot x^33 gr|-2^2 = -8 ( 83 - -83 ) = -8 cdot 163 = -1283
integral-2^2 x^4 , dx = x^55 gr|-2^2 = 325 - -325 = 645

Passo 8

Somando todas as integrais:
64 - 1283 + 645
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
64 = 96015, -1283 = -64015, 645 = 19215
Então:
96015 - 64015 + 19215 = 51215

Passo 9

Multiplicando pelo $ \pi $:
pi

Resposta

O volume do sólido gerado é $ \displaystyle \frac{512\pi}{15} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados