Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
torno do eixo x , entre
e
.
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o volume do sólido que surge quando a região entre as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 4 $ é rodada em torno do eixo $ x $, no intervalo de $ x = -2 $ até $ x = 2 $. Vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas. A parábola $ y = x^{2} $ é uma curva que abre para cima, e a reta $ y = 4 $ é uma linha horizontal que corta a parábola. No intervalo de $ x = -2 $ a $ x = 2 $, essas duas curvas delimitam uma região fechada que queremos girar em torno do eixo $ x $.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo $ x $, vamos usar o método dos discos. Esse método nos diz que o volume $ V $ pode ser encontrado integrando a área da seção transversal (um círculo) ao longo do intervalo considerado. A fórmula é:
Onde $ R(x) $ é o raio do disco em cada ponto $ x $.
Passo 4
Nesse caso, $ R(x) $ é a distância entre a curva superior e o eixo de rotação. A curva superior é $ y = 4 $ e a curva inferior é $ y = x^{2} $. Então, o raio do disco em cada $ x $ é:
Passo 5
Agora, substituímos $ R(x) $ na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando todas as integrais:
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:
Passo 9
Multiplicando pelo $ \pi $:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \displaystyle \frac{512\pi}{15} $ unidades cúbicas.