Sejam n \geq 1 um número natural. Considere g(x, y)=f\left(x^{n}+y^{n}, x^{n}+y^{n}\right) em que f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique que
\frac{1}{n x^{n-1}} \frac{\partial g}{\partial x}(x, y)-\frac{1}{n y^{n-1}} \frac{\partial g}{\partial y}(x, y)=0
para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2} com x, y>0.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e define
g(x,y)=f\bigl(x^{n}+y^{n},\,x^{n}+y^{n}\bigr)
onde n\ge 1 é inteiro. O que se pede é verificar a igualdade
\frac{1}{n x^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\;-\;\frac{1}{n y^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0
para todo (x,y) com x>0 e y>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é diferenciável, logo tem derivadas parciais contínuas locais.
  • g é a composição de f com as funções x\mapsto x^{n}+y^{n} e y\mapsto x^{n}+y^{n}.
  • A análise deve ser feita apenas para x>0 e y>0 (isso garante que x^{n-1} e y^{n-1} são não nulos, evitando divisão por zero).

Passo 2

Vou lembrar a regra da cadeia para derivadas parciais (a base teórica que vamos usar): se
g(x,y)=f\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr)
com f diferenciável e u,v diferenciáveis, então as derivadas parciais de g são
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial a}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)\;+\;\frac{\partial f}{\partial b}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,\frac{\partial v}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial a}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)\;+\;\frac{\partial f}{\partial b}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,\frac{\partial v}{\partial y}(x,y).
Aqui escrevi as derivadas de f como \dfrac{\partial f}{\partial a} (derivada de f em relação à sua primeira variável) e \dfrac{\partial f}{\partial b} (em relação à segunda variável). Isso é só notação para ficar claro o papel de cada argumento de f.

Passo 3

No nosso caso escolho
u(x,y)=x^{n}+y^{n},\qquad v(x,y)=x^{n}+y^{n}.
Observe que u e v são iguais (a mesma função dos dois sinais). Pelo menos para x,y reais isso é bem definido; o enunciado pede a verificação para x,y>0, que usaremos mais adiante para dividir por x^{n-1} e y^{n-1}.
Calcule as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}+y^{n}\bigr)=n x^{n-1},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=n y^{n-1}.
Como v=u, as derivadas de v são as mesmas:
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=n x^{n-1},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=n y^{n-1}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia escrita no Passo 2, avaliando tudo em \bigl(x^{n}+y^{n},\,x^{n}+y^{n}\bigr). Para abreviar, escrevo
A(x,y):=\frac{\partial f}{\partial a}\bigl(x^{n}+y^{n},\,x^{n}+y^{n}\bigr), \qquad B(x,y):=\frac{\partial f}{\partial b}\bigl(x^{n}+y^{n},\,x^{n}+y^{n}\bigr).
Usando as derivadas de u e v do passo anterior obtenho
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=A(x,y)\cdot n x^{n-1}+B(x,y)\cdot n x^{n-1}=(A(x,y)+B(x,y))\,n x^{n-1},
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=A(x,y)\cdot n y^{n-1}+B(x,y)\cdot n y^{n-1}=(A(x,y)+B(x,y))\,n y^{n-1}.

Passo 5

Agora formo a combinação pedida no enunciado. Para x>0 e y>0 (assim x^{n-1} e y^{n-1} são não nulos) temos:
\frac{1}{n x^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) =\frac{1}{n x^{n-1}}\cdot (A(x,y)+B(x,y))\,n x^{n-1}=A(x,y)+B(x,y),
\frac{1}{n y^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) =\frac{1}{n y^{n-1}}\cdot (A(x,y)+B(x,y))\,n y^{n-1}=A(x,y)+B(x,y).
Subtraindo as duas expressões obtemos
\frac{1}{n x^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)-\frac{1}{n y^{n-1}}\,\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) =(A(x,y)+B(x,y))-(A(x,y)+B(x,y))=0.

Resposta

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