Sejam
um número natural. Considere
em que
é uma função diferenciável. Verifique que
para todo
com
.
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável
e define
onde
é inteiro. O que se pede é verificar a igualdade
para todo
com
e
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é diferenciável, logo tem derivadas parciais contínuas locais. -
é a composição de com as funções e . - A análise deve ser feita apenas para
e (isso garante que e são não nulos, evitando divisão por zero).
Passo 2
Vou lembrar a regra da cadeia para derivadas parciais (a base teórica que vamos usar): se
com
diferenciável e
diferenciáveis, então as derivadas parciais de
são
Aqui escrevi as derivadas de
como
(derivada de
em relação à sua primeira variável) e
(em relação à segunda variável). Isso é só notação para ficar claro o papel de cada argumento de
.
Passo 3
No nosso caso escolho
Observe que
e
são iguais (a mesma função dos dois sinais). Pelo menos para
reais isso é bem definido; o enunciado pede a verificação para
, que usaremos mais adiante para dividir por
e
.
Calcule as derivadas parciais de
e
:
Como
, as derivadas de
são as mesmas:
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia escrita no Passo 2, avaliando tudo em
. Para abreviar, escrevo
Usando as derivadas de
e
do passo anterior obtenho
Passo 5
Agora formo a combinação pedida no enunciado. Para
e
(assim
e
são não nulos) temos:
Subtraindo as duas expressões obtemos