Seja
uma função diferenciável. Defina a função
Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função diferenciável
e define
O que é pedido: verificar que
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é diferenciável, então suas derivadas parciais existem e são contínuas (pelo menos localmente). - A composição envolve a função
.
Observação sobre domínio (importante):está definida quando , ou seja, para todos os pontos diferentes de . Além disso, a expressão com e exige e . Portanto a identidade será verificada nos pontos em que todas as quantidades envolvidas estão bem definidas (particularmente quando , e ).
Passo 2
Defino uma função intermediária
Vou calcular as derivadas parciais de
. Lembrete prático: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Aplicando a regra da cadeia:
Analogamente,
Expliquei isso devagar: primeiro diferencio o interior
(dando
ou
), depois multiplico pela derivada de
, que é
.
Passo 3
Agora uso a regra da cadeia para composições multivariáveis. Escrevo
como composição
onde
Denoto por
e
as derivadas parciais de
em relação à primeira e à segunda coordenada, respectivamente:
A regra da cadeia dá, componente a componente,
Aqui expliquei: as duas coordenadas de
dependem da mesma função
, então cada uma contribui somando dois termos com a mesma
.
Passo 4
Fatorando
no resultado do passo anterior, obtenho
Substituo
(do Passo 2):
onde, por abreviação, escrevo
para
.
De forma análoga para a derivada em
:
Passo 5
Agora calculo as quantidades pedidas divididas por
e por
. Primeiro,
Observe que o
simplifica. Do mesmo modo,
Passo 6
Subtraio as duas quantidades:
Portanto a diferença é zero sempre que todas as quantidades estão bem definidas (ou seja, quando
,
e
; no caso
já garante
).