Seja
g(x)= x & se x<1 3 & se x=1 2-x^2 & se 12
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i) lim x 1^- g(x)
(ii) lim x 1 g(x)
(iii) g(1)
(iv) lim x 2^- g(x)
(v) lim x 2^+ g(x)
(vi) lim x 2 g(x)
(b) Esboce o gráfico de g.

Passo 1

Temos a função por partes
g(x)= x & se x<13 & se x=12-x^2 & se 12
Vamos usar conceitos de limite lateral, continuidade e esboço de gráfico de função por partes.

Passo 2

Quando x to1^-, estamos na parte g(x)=x. Logo
limxto1^-g(x)=limxto1^-x=1

Passo 3

Quando x to1^+, usamos g(x)=2-x^{2}. Assim
limxto1^+g(x)=2-1^2=1

Passo 4

Como os limites laterais em x=1 coincidem e valem 1, temos
limxto1g(x)=1

Passo 5

Pela definição, g(1)=3 (segundo o caso x=1). Portanto g(1) é diferente do limite.

Passo 6

Quando x to2^-, usamos g(x)=2-x^{2}. Logo
limxto2^-g(x)=2-2^2=2-4=-2

Passo 7

Quando x to2^+, usamos g(x)=x-3. Logo
limxto2^+g(x)=2-3=-1

Passo 8

Como os limites laterais em x=2 são diferentes (-2 e -1), não existe limite quando x to2.

Passo 9

Para esboçar o gráfico:
  • Em x<1: reta y=x, com ponto aberto em (1,1).
  • Em x=1: ponto isolado em (1,3).
  • Em 1<x≤2: parábola y=2-x², aberta em (1,1) e fechada em (2,-2).
  • Em x>2: reta y=x-3, aberta em (2,-1) e seguindo indefinidamente.

Resposta

(a) (i) limxto1^-g(x)=1; (ii) limxto1g(x)=1; (iii) g(1)=3; (iv) limxto2^-g(x)=-2; (v) limxto2^+g(x)=-1; (vi) limxto2g(x) não existe. (b) O gráfico é: reta y=x em x<1 com ponto aberto em (1,1); ponto isolado em (1,3); parábola y=2-x^2 em 1 (de (1,1) aberto até (2,-2) fechado); e reta y=x-3 em x>2 com ponto aberto em (2,-1).

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