Sc R=[0,4] times[-1,2], use a soma de Riemann com m=2, n=3 para estimar o vallor de integral duplan(1-x y^2) d A. Tome os pontos de amostragem como os cantos inferiores dircitos dos retingulos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor da integral dupla de f(x,y)=1−x y² sobre R=[0,4]×[−1,2] usando soma de Riemann com m=2 divisões em x e n=3 divisões em y, tomando como pontos de amostragem os cantos inferiores direitos de cada retângulo.

Passo 2

Primeiro calculamos o tamanho de cada subintervalo e escrevemos a fórmula da soma de Riemann. Temos
De
A soma de Riemann fica
sumi=1^2sumj=1^3f(xi^*,yj^*),De
com De.

Passo 3

Depois, identificamos os pontos de amostragem (cantos inferiores direitos). As abscissas são
xi=2,4 e as ordenadas de base são
yj-1=-1,0,1.
Assim os pontos são
(2,-1),(2,0),(2,1),(4,-1),(4,0),(4,1).

Passo 4

Avaliamos f em cada ponto e somamos:
f(2,-1)=1-2cdot(-1)^2=-1, f(2,0)=1, f(2,1)=-1, f(4,-1)=1-4cdot1=-3, f(4,0)=1, f(4,1)=-3
Somando esses valores:
(-1)+1+(-1)+(-3)+1+(-3)=-6

Passo 5

Por fim, multiplicamos essa soma pela área de cada retângulo De:
sum f(xi^*,yj^*),De

Resposta

-12

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