Uma função f é par se f(x)=f(-x) e ímpar se f(x)=-f(-x). Por exemplo, f(x)=x^2, g(x)=|x| e h(x)=cos (x) são funções pares, enquanto F(x)=x e G(x)=sin (x) são funções ímpares.
(a) Determine se f+g é par, ímpar, ou não necessariamente nenhum dos dois, nos quatro casos obtidos escolhendo f par ou ímpar, e g par ou ímpar. (Suas respostas podem ser exibidas de forma mais conveniente em uma tabela 2 times 2.)
(b) Faça o mesmo para f cdot g.
© Faça o mesmo para f circ g.
(d) Prove que toda função par f pode ser escrita como f(x)=g(|x|), para infinitas funções g.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a paridade (funções pares e ímpares) das operações soma, produto e composição entre duas funções f e g, além de mostrar que toda função par f pode ser escrita como f(x)=g(|x|) para infinitas escolhas de g. Vamos usar diretamente a definição: f é par se f(x)=f(-x) e ímpar se f(x)=-f(-x).

Passo 2

Para a soma, calculamos
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)
Se f e g são pares, fica f(x)+g(x)=(f+g)(x) ⇒ par. Se f e g são ímpares, fica -f(x)-g(x)=-(f+g)(x) ⇒ ímpar. Se um é par e o outro ímpar, em geral não coincide nem com (f+g)(x) nem com -(f+g)(x), logo não é nem par nem ímpar. Assim temos a tabela 2×2:
$$
c|cc & g par & g ímpar hline f par & f+g par & nenhum f ímpar & nenhum & f+g ímpar ííí
$$

Passo 3

Para o produto, usamos
(fcdot g)(-x)=f(-x)cdot g(-x)
Se f e g são pares, f(x)g(x)=(fcdot g)(x) ⇒ par. Se um é par e o outro ímpar, o sinal resultante muda uma vez ⇒ ímpar. Se ambos são ímpares, mudam de sinal duas vezes ⇒ par. A tabela é:
$$
c|cc & g par & g ímpar hline f par & fcdot g par & fcdot g ímpar f ímpar & fcdot g ímpar & fcdot g par íííí
$$

Passo 4

Para a composição, analisamos
$$(f\circ g)(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr).
(fcirc g)(-x)=fl(g(-x)r) ééíéãééíéíãíãá
g(-x)=g(x)ííí
$$

Passo 5

Para (d), dada uma função par f, basta definir qualquer g tal que em [0,infty) seja
g(t)=f(t),
e para t<0 estender g de modo arbitrário (por exemplo g(t)=f(-t)). Então
g(|x|)=f(|x|)=f(x),
usando a paridade de f. Como a escolha de g em t<0 é livre, existem infinitas funções g que fazem valer f(x)=g(|x|).

Resposta

Para (a) soma:
c|cc & g par & g ímpar hline f par & f+g par & nenhum f ímpar & nenhum & f+g ímpar ííí
(b) produto:
c|cc & g par & g ímpar hline f par & fcdot g par & fcdot g ímpar f ímpar & fcdot g ímpar & fcdot g par íííí
© composição:
c|cc & g par & g ímpar hline f par & fcirc g par & fcirc g par f ímpar & fcirc g par & fcirc g ímpar ííí
(d) Basta definir g em [0,infty) por g(t)=f(t) e estendê-la arbitrariamente para t<0. Então g(|x|)=f(|x|)=f(x).

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