Uma função
é par se
e ímpar se
. Por exemplo,
e
são funções pares, enquanto
e
são funções ímpares.
(a) Determine se
é par, ímpar, ou não necessariamente nenhum dos dois, nos quatro casos obtidos escolhendo
par ou ímpar, e
par ou ímpar. (Suas respostas podem ser exibidas de forma mais conveniente em uma tabela
.)
(b) Faça o mesmo para
.
© Faça o mesmo para
.
(d) Prove que toda função par
pode ser escrita como
, para infinitas funções
.
(a) Determine se
(b) Faça o mesmo para
© Faça o mesmo para
(d) Prove que toda função par
Passo 1
O enunciado pede para estudar a paridade (funções pares e ímpares) das operações soma, produto e composição entre duas funções f e g, além de mostrar que toda função par f pode ser escrita como f(x)=g(|x|) para infinitas escolhas de g. Vamos usar diretamente a definição: f é par se
e ímpar se
.
Passo 2
Para a soma, calculamos
Se f e g são pares, fica
$$
$$
Passo 3
Para o produto, usamos
Se f e g são pares,
$$
$$
Passo 4
Para a composição, analisamos
$$(f\circ g)(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr).
$$
Passo 5
Para (d), dada uma função par f, basta definir qualquer g tal que em
seja
e para
estender g de modo arbitrário (por exemplo
). Então
usando a paridade de f. Como a escolha de g em
é livre, existem infinitas funções g que fazem valer
.
Resposta
Para (a) soma:
(b) produto:
© composição:
(d) Basta definir g em
por
e estendê-la arbitrariamente para
. Então
.