Utilize a seguinte mudança de variáveis
x=rho sin phi cos theta, y=rho sin phi sin theta, z=rho cos phi,
para deduzir a fórmula para integração tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula do integral triplo em coordenadas esféricas usando a mudança de variáveis
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ. O conteúdo principal é o Teorema da Mudança de Variáveis em integrais múltiplas e vamos precisar calcular o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Em uma mudança de variáveis (u,v,w)↦(x,y,z), o volume elementar transforma-se segundo
dx,dy,dz = l|det Jr|,du,dv,dw
onde J é a matriz das derivadas parciais (o Jacobiano) da transformação. Aqui (u,v,w) = (ρ,φ,θ).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de x,y,z em relação a ρ, φ e θ e montemos a matriz Jacobiana:
J = ∂x∂ρ & ∂x∂φ & ∂x∂θ ∂y∂ρ & ∂y∂φ & ∂y∂θ ∂z∂ρ & ∂z∂φ & ∂z∂θ = sinφcosθ & ρcosφcosθ & -ρsinφsinθ sinφsinθ & ρcosφsinθ & ρsinφcosθ cosφ & -ρsinφ & 0
Calculando o determinante (por qualquer método), chega-se a
det J = ρ^2sinφ

Passo 4

Como o Jacobiano vale |det J|=ρ^2 sinφ, o elemento de volume vira
dV = dx,dy,dz = ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ
Portanto, aplicando isso num integral triplo, basta substituir x,y,z pela mudança e multiplicar por ρ^2 sinφ.

Resposta

integral triplaR f(x,y,z),dx,dy,dz = integralθ=θ1^θ2 integralφ=φ1^φ2 integralρ=ρ1^ρ2 fl(ρsinφcosθ,;ρsinφsinθ,;ρcosφr) ,ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ

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