Utilize a seguinte mudança de variáveis
para deduzir a fórmula para integração tripla em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula do integral triplo em coordenadas esféricas usando a mudança de variáveis
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ. O conteúdo principal é o Teorema da Mudança de Variáveis em integrais múltiplas e vamos precisar calcular o Jacobiano dessa transformação.
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ. O conteúdo principal é o Teorema da Mudança de Variáveis em integrais múltiplas e vamos precisar calcular o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Em uma mudança de variáveis (u,v,w)↦(x,y,z), o volume elementar transforma-se segundo
onde J é a matriz das derivadas parciais (o Jacobiano) da transformação. Aqui (u,v,w) = (ρ,φ,θ).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de x,y,z em relação a ρ, φ e θ e montemos a matriz Jacobiana:
Calculando o determinante (por qualquer método), chega-se a
Passo 4
Como o Jacobiano vale |det J|=ρ^2 sinφ, o elemento de volume vira
Portanto, aplicando isso num integral triplo, basta substituir x,y,z pela mudança e multiplicar por ρ^2 sinφ.