Se 4-x <= f(x) <= x^2-5 x+4 para x >= 0, encontre lim x 4 f(x).

Passo 1

O enunciado diz que, para x>=0, vale
4 - x ;<=; f(x);<=; x^2 - 5x + 4
e pede limxto4f(x). O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou dos “Sanduíches”), que exige calcular os limites das duas funções que “prendem” f(x) e verificar que ambos são iguais.

Passo 2

Calcular o limite da função inferior g(x)=4-x em x=4. Como g é polinomial (logo contínua), temos
limxto4(4 - x) = 4 - 4 = 0

Passo 3

Calcular o limite da função superior h(x)=x^2-5x+4 em x=4. Também é polinomial, então
limxto4(x^2 - 5x + 4) = 4^2 - 5cdot4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0

Passo 4

Como para x>=0 próximo de 4 temos
4 - x ;<=; f(x);<=; x^2 - 5x + 4
e ambas as extremas tendem a 0 quando xto4, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto4f(x) = 0

Resposta

0

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