Para x^2+x y+y^2=9, determine d yd x.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
x^2 + x,y + y^2 = 9
e pede a derivada dydx. Para isso, vamos usar diferenciação implícita e a regra do produto.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x:
ddx(x^2) + ddx(x,y) + ddx(y^2) = ddx(9)
Aplicando cada termo:
ddx(x^2) = 2x,
ddx(x,y) = xdydx + yddx(x) = x,y' + y,
ddx(y^2) = 2ydydx = 2y,y',
e ddx(9)=0. Assim obtemos
2x + y + x,y' + 2y,y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y':
x,y' + 2y,y' + 2x + y = 0 Longrightarrow (x + 2y),y' + (2x + y) = 0
Isolando y':
(x + 2y),y' = -l(2x + yr) Longrightarrow y' = -2x + yx + 2y

Resposta

dydx = -2x + yx + 2y

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