QUESTÃO 2 (3,0 pontos): Calcule as integrais indefinidas.
G(t)=\int e^{\sqrt{t}} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
G(t)=\int e^{\sqrt{t}}\,dt.
O conteúdo envolve técnica de substituição seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{t} \quad\Longrightarrow\quad t = u^2, \quad dt = 2u\,du.
Então
\int e^{\sqrt{t}}\,dt = \int e^{u}\,(2u\,du) = 2\int u\,e^{u}\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int u\,e^{u}\,du usamos integração por partes. Tomamos
\begin{cases} \displaystyle f = u, & df = du,\\\ \displaystyle dg = e^{u}\,du, & g = e^{u}. \end{cases}
Logo
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int 1\cdot e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à integral original:
2\int u\,e^{u}\,du = 2\bigl(u\,e^{u} - e^{u}\bigr) + C = 2u\,e^{u} - 2e^{u} + C.
Substituindo u = \sqrt{t} e e^{u}=e^{\sqrt{t}}, obtemos
G(t) = 2\sqrt{t}\,e^{\sqrt{t}} - 2e^{\sqrt{t}} + C = 2e^{\sqrt{t}}\bigl(\sqrt{t}-1\bigr) + C.

Resposta

G(t)=2e^{\sqrt{t}}\bigl(\sqrt{t}-1\bigr)+C.

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