Calcule todas as derivadas parciais de 2 ordem de
f(x, y)=e^x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=e^x^2-y^2. O conteúdo é derivada parcial e vamos precisar do conceito de derivada de uma função composta (regra da cadeia) e também da regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Se f(x,y)=e^u(x,y), então fx=e^u(x,y)cdot uxe fy=e^u(x,y)cdot uy
Aplicando isso em u(x,y)=x^2-y^2, temos ux=2xe uy=-2y
Assim, as derivadas parciais de primeira ordem ficam:
fx=2x,e^x^2-y^2
fy=-2y,e^x^2-y^2

Passo 3

Agora vamos calcular fxx. Como fx=2x,e^x^2-y^2, usamos a regra do produto:
  1. deriva 2x em relação a x, que dá 2, vezes e^x^2-y^2.
  2. mais 2x vezes a derivada de e^x^2-y^2 em relação a x, que é e^x^2-y^2cdot 2x.
    Somando,

Passo 4

Para fyy, começamos de fy=-2y,e^x^2-y^2 e aplicamos produto:
  1. deriva -2y) em relação a y, que dá -2, vezes e^x^2-y^2.
  2. mais -2y) vezes a derivada de e^x^2-y^2 em relação a y, que é e^x^2-y^2cdot(-2y).
    Somando,

Passo 5

Para a derivada mista fxy, derivamos fx=2x,e^x^2-y^2 em relação a y. Aqui só há produto entre 2x (constante em y) e e^x^2-y^2. Então

Passo 6

E por simetria (teorema de Clairaut), fyx=fxy. Portanto fyx=-4xy,e^x^2-y^2

Resposta

As segundas derivadas parciais são:
f_{xx}=(4x2+2)e{x2-y2},
f_{yy}=(4y2-2)e{x2-y2},
f_{xy}=f_{yx}=-4xy,e{x2-y^2}.

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