Calcule todas as derivadas parciais de 2 ordem de
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo é derivada parcial e vamos precisar do conceito de derivada de uma função composta (regra da cadeia) e também da regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Se
, então
Aplicando isso em
, temos
Assim, as derivadas parciais de primeira ordem ficam:
Assim, as derivadas parciais de primeira ordem ficam:
Passo 3
Agora vamos calcular
. Como
, usamos a regra do produto:
- deriva
em relação a , que dá , vezes . - mais
vezes a derivada de em relação a , que é .
Somando,
Passo 4
Para
, começamos de
e aplicamos produto:
- deriva
em relação a , que dá , vezes . - mais
vezes a derivada de em relação a , que é .
Somando,
Passo 5
Para a derivada mista
, derivamos
em relação a
. Aqui só há produto entre
(constante em
) e
. Então
Passo 6
E por simetria (teorema de Clairaut),
. Portanto
Resposta
As segundas derivadas parciais são:
f_{xx}=(4x2+2)e{x2-y2},
f_{yy}=(4y2-2)e{x2-y2},
f_{xy}=f_{yx}=-4xy,e{x2-y^2}.
f_{xx}=(4x2+2)e{x2-y2},
f_{yy}=(4y2-2)e{x2-y2},
f_{xy}=f_{yx}=-4xy,e{x2-y^2}.