Seja g(x)=\sqrt{x} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
Existe o \lim _{x \rightarrow \infty} g(x) ? Se existe, calcule o limite usando o Teorema do Confronto. Se nlio existe, explique por que com argumentos de calcula.
Passo 1
O enunciado nos dá a função g(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) e pede: existe \lim_{x\to\infty} g(x)? Se existir, calcule-o usando o Teorema do Confronto; se não existir, explique por que.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar depois (sem ainda resolver): \;g(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right); o argumento do seno é \frac{1}{x}, que tende a 0 quando x\to\infty; \sqrt{x} é positivo para x>0.
Passo 2
Apresento o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma clara e simples: se temos três funções f(x), h(x) e g(x) tais que, para todo x suficientemente grande,
f(x)\le h(x)\le g(x),
e se
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=L,
então
\lim_{x\to\infty} h(x)=L.
Ou, na versão com valor absoluto, se |h(x)|\le r(x) e \lim_{x\to\infty} r(x)=0, então \lim_{x\to\infty} h(x)=0. Vou usar essa última forma porque é prática quando temos uma função multiplicada por um seno.
Passo 3
Precisamos de uma desigualdade que relacione \operatorname{sen}(u) e u. Vou usar a desigualdade padrão
|\operatorname{sen}(u)|\le |u|\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.
Justificação curta e didática dessa desigualdade (para que você possa usar na prova): considere f(u)=\operatorname{sen}(u) com f(0)=0. Pelo Teorema do Valor Médio (uma forma simples: se f é diferenciável entre 0 e u, existe c entre 0 e u tal que f(u)-f(0)=f'\text{(c)}(u-0)). Aplicando isso a f obtemos
\operatorname{sen}(u)=\cos\text{(c)}\,u
para algum c entre 0 e u. Tomando módulo e lembrando que |\cos\text{(c)}|\le 1, vem
Para u negativo a mesma desigualdade vale por simetria (pois \operatorname{sen} é ímpar). Portanto a desigualdade é verdadeira para todo u.
Passo 4
Aplique a desigualdade anterior ao nosso caso tomando u=\dfrac{1}{x}. Como estamos estudando x\to\infty, podemos considerar x>0 suficientemente grande, então u=\dfrac{1}{x} está bem definido e positivo. Da desigualdade obtemos
Agora analisamos o limite do lado direito. Observe que
\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Como x\to\infty, potências negativas de x tendem a zero, logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0.
Temos então uma desigualdade do tipo |g(x)|\le r(x) com r(x)=1/\sqrt{x} e \lim_{x\to\infty} r(x)=0. Pelo Teorema do Confronto na sua versão com valor absoluto, isso implica
\lim_{x\to\infty} g(x)=0.
Passo 6
Resumo didático do raciocínio para levar para a prova, em linguagem curta: use a desigualdade |\operatorname{sen}(u)|\le |u| com u=1/x, multiplique por \sqrt{x} (positivo), obtenha |g(x)|\le 1/\sqrt{x} e conclua pelo Teorema do Confronto, já que 1/\sqrt{x}\to 0.