Seja g(x)=\sqrt{x} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
Existe o \lim _{x \rightharpoonup 0} g(x) ? Se existe, calcule o limite usando o Teorema do Confronto Se nåo existe, explique por que com argumentos de calculo.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) e pergunta se existe \lim_{x\to 0} g(x). Se existir, pede para calcular o limite usando o Teorema do Confronto; se não existir, pede uma explicação por cálculo. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e implicadas por ele:
  • A função envolve \sqrt{x}, logo ela só está definida para x\ge 0.
  • A função envolve \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right), cuja variação é oscilatória quando x\to 0.
  • Sabemos (fato importante) que para todo número real t vale -1\le \operatorname{sen}(t)\le 1.
    Não vou resolver ainda; só deixei claro o que se pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Interpretação do limite: como g(x) só está definida para x\ge 0, o único tipo de limite que faz sentido no contexto é o limite lateral à direita
\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x).
Se eu provar que esse limite existe e vale L, dizemos que o limite da função em 0 (no seu domínio) é L. Observação importante: não há valores de g(x) para x<0, então não faz sentido falar em limite bilateral x\to 0 sem especificar que queremos o direito.

Passo 3

Usarei a desigualdade conhecida para o seno:
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1\qquad\text{para todo }x\ne 0.
Como \sqrt{x}\ge 0 para x\ge 0, posso multiplicar toda a desigualdade por \sqrt{x} sem inverter sinais, obtendo
-\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le \sqrt{x}.
Ou seja,
-\sqrt{x} \le g(x) \le \sqrt{x}\qquad\text{para }x>0.
Aqui usei um passo simples mas fundamental: multiplicar uma desigualdade por um número não negativo preserva a desigualdade.

Passo 4

Agora avalio os limites das funções que aparecem nas bordas da desigualdade quando x\to 0^+.
A função \sqrt{x} é contínua em 0 e \sqrt{0}=0, portanto
\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0.
Logo também
\lim_{x\to 0^+} (-\sqrt{x}) = 0.
Se preferir um raciocínio alternativo: ponha t=\sqrt{x}. Quando x\to 0^+ então t\to 0^+, e claramente t\to 0.

Passo 5

Enuncio o Teorema do Confronto (Squeeze theorem) de forma simples: se para x numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto) temos f(x)\le g(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} g(x)=L.
Aplicando aqui: tomamos f(x)=-\sqrt{x}, g(x)=\sqrt{x}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) e h(x)=\sqrt{x}. Como ambos f e h têm limite 0 quando x\to 0^+, pelo Teorema do Confronto obtemos
\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.
Um comentário extra útil: outra maneira curta é notar |g(x)|=\sqrt{x}\,\big|\operatorname{sen}(1/x)\big|\le \sqrt{x}, e como \sqrt{x}\to 0 a partir do direito, isso força |g(x)|\to 0, logo g(x)\to 0.

Passo 6

Conclusão final e observação sobre existência: o limite à direita existe e vale 0. Não se pode falar em limite bilateral \lim_{x\to 0} g(x) sem mencionar que é bilateral, porque g não está definida para x<0. Portanto a resposta correta para a pergunta tal como formulada (existência do limite ao se aproximar de 0) é que o limite existe no sentido de x\to 0^+ e é 0.

Resposta

Existe (no sentido à direita).\n \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=0

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