Seja g(x, y)=\left(2 x y+3 x^{2}\right)^{5}+\frac{y^{2}}{x^{2}}. Quanto vale \frac{\partial g}{\partial x}(-1,2)-\frac{\partial g}{\partial y}(-1,2) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=\bigl(2xy+3x^2\bigr)^{5}+\frac{y^2}{x^2}
e pede o valor de
\frac{\partial g}{\partial x}(-1,2)\;-\;\frac{\partial g}{\partial y}(-1,2).
Para isso vamos usar a regra da cadeia e as regras de derivação de potências.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a x. Defina
A=2xy+3x^2.
Então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(A^5\bigr) =5A^4\cdot\frac{\partial A}{\partial x} =5A^4\,(2y+6x).
Para a segunda parcela, note que \tfrac{y^2}{x^2}=y^2x^{-2}, logo
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(y^2x^{-2}\Bigr) =y^2\cdot(-2)x^{-3} =-2\,\frac{y^2}{x^3}.
Assim
\frac{\partial g}{\partial x} =5A^4\,(2y+6x)\;-\;2\,\frac{y^2}{x^3}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a y. Ainda com A=2xy+3x^2, pela cadeia
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(A^5\bigr) =5A^4\cdot\frac{\partial A}{\partial y} =5A^4\,(2x).
E para \tfrac{y^2}{x^2} temos
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y^2x^{-2}\Bigr) =2y\,x^{-2} =2\,\frac{y}{x^2}.
Logo
\frac{\partial g}{\partial y} =5A^4\,(2x)\;+\;2\,\frac{y}{x^2}.

Passo 4

Avaliar em (x,y)=(-1,2). Primeiro calcule
A( -1,2)=2\cdot(-1)\cdot2+3\cdot(-1)^2=-4+3=-1.
Então
\frac{\partial g}{\partial x}(-1,2) =5\cdot(-1)^4\,(2\cdot2+6\cdot(-1)) \;-\;2\,\frac{2^2}{(-1)^3} =5\cdot1\,(4-6)-\frac{8}{-1} =-10+8=-2,
\frac{\partial g}{\partial y}(-1,2) =5\cdot(-1)^4\,(2\cdot(-1)) \;+\;2\,\frac{2}{(-1)^2} =5\cdot1\cdot(-2)+\frac{4}{1} =-10+4=-6.

Passo 5

Agora faça a diferença
\frac{\partial g}{\partial x}(-1,2) -\frac{\partial g}{\partial y}(-1,2) =(-2)-(-6)=4.

Resposta

4

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