Explique se as séries convergem ou divergem. Para aquelas que convergirem calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+3 n}}{4 n-1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{\sqrt{n^{2}+3n}}{4n - 1}
e decidir se ela converge ou diverge. Um passo fundamental para qualquer série é verificar o critério da forma geral: se a_n não tende a zero, a série diverge necessariamente.

Passo 2

Para ver o comportamento de a_n quando n\to\infty, façamos uma expansão assintótica:
\sqrt{n^2+3n} = n\,\sqrt{1+\frac{3}{n}} = n\Bigl(1 + \tfrac{3}{2n} + O(\tfrac{1}{n^2})\Bigr) = n + \tfrac{3}{2} + O\bigl(\tfrac1n\bigr).
Já o denominador é
4n - 1 = 4n\Bigl(1 - \tfrac1{4n}\Bigr) = 4n + O(1).
Logo
a_n = \frac{n + \tfrac{3}{2} + O(\tfrac1n)}{4n + O(1)} = \frac{n + \tfrac{3}{2}}{4n}\,(1 + o(1)) = \frac14 + O\bigl(\tfrac1n\bigr).
Em particular,
\lim_{n\to\infty}a_n = \tfrac14 \neq 0.

Passo 3

Como o termo geral a_n não tende a zero, pelo teste do termo geral a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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