Se z=\mathrm{e}^{2 y-2 x^{2}}+\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), encontre z_{x x}+z_{y y} na forma mais simplicada possível.

Passo 1

O enunciado define
z = \mathrm{e}^{2y - 2x^{2}} + \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede a soma das segundas derivadas parciais \,z_{xx}+z_{yy}.
Para resolver, vamos usar regra da cadeia e regra do quociente, computando primeiro z_x e z_{xx}, depois z_y e z_{yy}, e finalmente somar os resultados.

Passo 2

Calcule z_x e z_{xx}.
  1. Para z_x, separamos as duas parcelas de z:
    \mathrm{(i)} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} = \mathrm{e}^{2y-2x^{2}}\cdot\frac{\partial(2y-2x^{2})}{\partial x} = -4x\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.
    \mathrm{(ii)} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\ln(x^{2}+y^{2}) = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
    Logo,
    z_x = -4x\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} + \frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
  2. Agora z_{xx}=\partial_x(z_x).
    • Derivando -4x\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} pelo produto u=-4x, v=\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}: u'=-4,\quad v'=-4x\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial x}[-4x\,v] = -4\,v + (-4x)\,v' = -4\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} + 16x^{2}\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.
    • Derivando \displaystyle \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} pela regra do quociente N=2x,\;D=x^{2}+y^{2}: N'=2,\;D'=2x \;\Longrightarrow\; \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) = \frac{2D - 2x\cdot2x}{D^{2}} = \frac{2y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    Somando,
    z_{xx} = \bigl(-4 + 16x^{2}\bigr)\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} + \frac{2y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Calcule z_y e z_{yy}.
  1. Para z_y, análogo ao caso x:
    \mathrm{(i)} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} = \mathrm{e}^{2y-2x^{2}}\cdot2 = 2\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.
    \mathrm{(ii)} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\ln(x^{2}+y^{2}) = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
    Logo,
    z_y = 2\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} + \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
  2. Agora z_{yy}=\partial_y(z_y).
    • Derivando 2\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}: 2\cdot\bigl(\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}\bigr)' = 2\cdot 2\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} = 4\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.
    • Derivando \displaystyle \frac{2y}{x^{2}+y^{2}} por quociente M=2y,\;D=x^{2}+y^{2}: M'=2,\;D'=2y \;\Longrightarrow\; \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{M}{D}\Bigr) = \frac{2D - 2y\cdot2y}{D^{2}} = \frac{2x^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    Assim,
    z_{yy} = 4\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}} + \frac{2x^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Some z_{xx}+z_{yy}:
  1. Termos com \mathrm{e}^{2y-2x^{2}}:
    (-4+16x^{2}) + 4 = 16x^{2},
    logo contribuem com
    16x^{2}\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.
  2. Termos racionais em (x^{2}+y^{2})^{-2}:
    (2y^{2}-2x^{2}) + (2x^{2}-2y^{2}) = 0.
Portanto,
z_{xx} + z_{yy} = 16x^{2}\,\mathrm{e}^{2y-2x^{2}}.

Resposta

z_{xx} + z_{yy} = 16x^{2}\,\mathrm{e}^{2y - 2x^{2}}.

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