Explique se as séries convergem ou divergem. Para aquelas que convergirem calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(2n-1)(2n+1)}
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica, ou seja, suas parcelas podem ser decompostas em frações parciais de modo que boa parte dos termos se cancele.

Passo 2

Vamos escrever cada termo como diferença de frações simples. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{3}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1), obtemos
3 = A(2n+1) + B(2n-1) = (A+B)\,2n + (A - B).
Para que isso valha para todo n, igualamos coeficientes:
A + B = 0, \qquad A - B = 3.
Da primeira vem B = -A. Substituindo na segunda: 2A = 3, logo A = \tfrac32 e B = -\tfrac32. Portanto,
\frac{3}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{3/2}{2n-1} - \frac{3/2}{2n+1} = \frac{3}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{3}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).
Escrevendo os primeiros termos vemos o efeito telescópico:
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr) = \bigl(1 - \tfrac13\bigr) + \bigl(\tfrac13 - \tfrac15\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{2N-1} - \tfrac{1}{2N+1}\bigr) = 1 - \frac{1}{2N+1}.
Logo
S_N = \frac{3}{2}\Bigl(1 - \frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para concluir a convergência, tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_N = \frac{3}{2}\Bigl(1 - 0\Bigr) = \frac{3}{2}.
Como o limite de S_N existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{3}{2}.

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