Explique se as séries convergem ou divergem. Para aquelas que convergirem calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica, ou seja, suas parcelas podem ser decompostas em frações parciais de modo que boa parte dos termos se cancele.
Passo 2
Vamos escrever cada termo como diferença de frações simples. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para que isso valha para todo
, igualamos coeficientes:
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
, logo
e
. Portanto,
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros termos vemos o efeito telescópico:
Logo
Passo 4
Para concluir a convergência, tomamos o limite quando
:
Como o limite de
existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.