Seja gamma uma curva orientada, simples, fechada e regular que delimita uma região D subseteq R^2. Se n=n1 i+n2 j representa o vetor normal unitário exterior à curva gamma, mostre que
ointgamma n1(x, y) d s=ointgamma n2(x, y) d s=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma curva simples, fechada e regular γ que delimita uma região D no plano e para o vetor normal unitário exterior n=(n₁,n₂) a γ, valem as relações ∮γ n₁ ds=0 e ∮γ n₂ ds=0. O conteúdo envolvido é integral de linha de funções escalares ao longo de curvas fechadas e a relação entre parametrização de γ e seu vetor normal exterior.

Passo 2

Vamos parametrizar γ por um vetor posição
r(t) = (x(t),y(t)), tin[a,b],
com x(a)=x(b) e y(a)=y(b) (fechamento), e derivadas x’,y’ contínuas e não simultaneamente nulas. O elemento de comprimento de arco é ds=|\mathbf{r}’(t)| dt.

Passo 3

Para uma curva orientada positivamente (região interior à esquerda), o vetor normal exterior unitário é dado por
n(t)=gl(-y'(t)|r'(t)|,;x'(t)|r'(t)|gr)
Logo,
n1(t)=-y'(t)|r'(t)|, n2(t)=x'(t)|r'(t)|

Passo 4

Agora substituímos em cada integral de linha:
ointgamma n1,ds =integrala^bl(-y'(t)|r'(t)|r)|r'(t)|,dt =-integrala^b y'(t),dt =-(y(b)-y(a))=0,
ointgamma n2,ds =integrala^bl(x'(t)|r'(t)|r)|r'(t)|,dt =integrala^b x'(t),dt =x(b)-x(a)=0

Resposta

\displaystyle \oint_{\gamma}n_{1}(x,y),ds = 0 \quade\quad \oint_{\gamma}n_{2}(x,y),ds = 0.

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