Seja
uma curva orientada, simples, fechada e regular que delimita uma região
. Se
representa o vetor normal unitário exterior à curva
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma curva simples, fechada e regular γ que delimita uma região D no plano e para o vetor normal unitário exterior n=(n₁,n₂) a γ, valem as relações ∮γ n₁ ds=0 e ∮γ n₂ ds=0. O conteúdo envolvido é integral de linha de funções escalares ao longo de curvas fechadas e a relação entre parametrização de γ e seu vetor normal exterior.
Passo 2
Vamos parametrizar γ por um vetor posição
com x(a)=x(b) e y(a)=y(b) (fechamento), e derivadas x’,y’ contínuas e não simultaneamente nulas. O elemento de comprimento de arco é ds=|\mathbf{r}’(t)| dt.
Passo 3
Para uma curva orientada positivamente (região interior à esquerda), o vetor normal exterior unitário é dado por
Logo,
Passo 4
Agora substituímos em cada integral de linha:
Resposta
\displaystyle \oint_{\gamma}n_{1}(x,y),ds = 0 \quade\quad \oint_{\gamma}n_{2}(x,y),ds = 0.