Exemplo 21. Elimine o módulo em |x-1|+|x+2|.

Solução:

Passo 1

O que o problema pede: eliminar os sinais de módulo na expressão |x-1|+|x+2|, isto é, escrever essa expressão sem as barras de valor absoluto, como uma função definida por partes.
Informações dadas:
  • A expressão contém os módulos |x-1| e |x+2|.
  • Os pontos onde cada expressão interna troca de sinal são x=1 (zera x-1) e x=-2 (zera x+2).
  • Precisa-se determinar a expressão equivalente em cada região do eixo real determinada por esses pontos.

Passo 2

Definição útil (relembrando como funciona valor absoluto): para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Explicando rápido: o módulo tira o sinal de a\]; se \(a já é não-negativo, não muda; se a é negativo, multiplica por -1 para torná-lo positivo. Exemplo: |-5| = -(-5) = 5.
Aplicação à expressão: para eliminar os módulos de |x-1|+|x+2| vamos analisar o sinal de cada parte x-1 e x+2. Os zeros x=1 e x=-2 dividem a reta em intervalos onde os sinais são constantes; nesses intervalos podemos substituir cada módulo por x-1 ou -(x-1), e por x+2 ou -(x+2), conforme o caso.]

Passo 3

Partição da reta real pelos pontos críticos:
  • Intervalo 1: x < -2.
  • Intervalo 2: -2 \le x \le 1.
  • Intervalo 3: x > 1.
Agora vamos examinar o sinal de x-1 e de x+2 em cada intervalo.

Passo 4

Caso x < -2:
  • Aqui x-1 < -2-1 = -3 < 0, então x-1 é negativo.
  • Aqui x+2 < 0 (por exemplo, em x=-3 tem-se x+2=-1).
    Pela definição do módulo:
|x-1| = -(x-1) = 1-x, \qquad |x+2| = -(x+2) = -x-2.
Somando:
|x-1|+|x+2| = (1-x)+(-x-2) = -2x-1.
Cheque rápido (exemplo): em x=-3, |-3-1|+|-3+2| = | -4| + | -1| = 4+1=5 e -2(-3)-1 = 6-1=5. Confere.

Passo 5

Caso -2 \le x \le 1:
  • Aqui x+2 \ge 0 (pois x \ge -2) e x-1 \le 0 (pois x \le 1).
    Pela definição do módulo:
|x-1| = -(x-1) = 1-x, \qquad |x+2| = x+2.
Somando:
|x-1|+|x+2| = (1-x)+(x+2) = 3.
Cheque rápido (exemplo): em x=0, |-1|+|2| = 1+2=3. Certo.

Passo 6

Caso x > 1:
  • Aqui x-1 > 0 e x+2 > 0, ambos não-negativos.
    Pela definição do módulo:
|x-1| = x-1, \qquad |x+2| = x+2.
Somando:
|x-1|+|x+2| = (x-1)+(x+2) = 2x+1.
Cheque rápido (exemplo): em x=2, |1|+|4|=1+4=5 e 2\cdot2+1=5. Beleza.

Resposta

|x-1|+|x+2| = \begin{cases} -2x-1, & x< -2,\\[4pt] 3, & -2 \le x \le 1,\\[4pt] 2x+1, & x>1. \end{cases}]

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