Exemplo 21. Elimine o módulo em
.
Solução:
Passo 1
O que o problema pede: eliminar os sinais de módulo na expressão
, isto é, escrever essa expressão sem as barras de valor absoluto, como uma função definida por partes.
Informações dadas:
- A expressão contém os módulos
e . - Os pontos onde cada expressão interna troca de sinal são
(zera ) e (zera ). - Precisa-se determinar a expressão equivalente em cada região do eixo real determinada por esses pontos.
Passo 2
Definição útil (relembrando como funciona valor absoluto): para qualquer número real
Explicando rápido: o módulo tira o sinal de
já é não-negativo, não muda; se
é negativo, multiplica por
para torná-lo positivo. Exemplo:
.
Aplicação à expressão: para eliminar os módulos de
vamos analisar o sinal de cada parte
e
. Os zeros
e
dividem a reta em intervalos onde os sinais são constantes; nesses intervalos podemos substituir cada módulo por
ou
, e por
ou
, conforme o caso.]
Passo 3
Partição da reta real pelos pontos críticos:
- Intervalo 1:
. - Intervalo 2:
. - Intervalo 3:
.
Agora vamos examinar o sinal de
e de
em cada intervalo.
Passo 4
Caso
:
- Aqui
, então é negativo. - Aqui
(por exemplo, em tem-se ).
Pela definição do módulo:
Somando:
Cheque rápido (exemplo): em
,
e
. Confere.
Passo 5
Caso
:
- Aqui
(pois ) e (pois ).
Pela definição do módulo:
Somando:
Cheque rápido (exemplo): em
,
. Certo.
Passo 6
Caso
:
- Aqui
e , ambos não-negativos.
Pela definição do módulo:
Somando:
Cheque rápido (exemplo): em
,
e
. Beleza.