Determine o núcleo (espaço nulo) das seguintes matrizes
F=[llllll1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & alpha]

Passo 1

O enunciado pede o núcleo (espaço nulo) da matriz
F= 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & alpha
O conteúdo é Álgebra Linear: achar o subespaço nulo resolvendo F x=0. Precisamos montar e simplificar o sistema linear homogêneo associado.

Passo 2

Sejam as incógnitas x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6). As linhas 1, 3 e 5 são idênticas, e as linhas 2 e 4 são idênticas. O sistema F x=0 equivale a
x1 + x3 + x5 = 0,
x2 + x4 + x6 = 0,
x2 + x4 + alpha,x6 = 0

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da terceira, obtemos
(1-alpha),x6 = 0
Isso leva a dois casos distintos:
  1. alpha neq 1 2) alpha = 1.

Passo 4

Caso alpha neq 1: da relação (1-alpha)x6=0 fica x6=0.
Então a equação x2+x4+x6=0 reduz-se a x2 + x4 = 0, e a outra é x1+x3+x5=0.
Tomando parâmetros livres
s = x3, t = x5, u = x4,
vemos que
x1 = -s - t, x2 = -u, x6=0
Uma base do núcleo é, por exemplo,
(-1,0,1,0,0,0), (-1,0,0,0,1,0), (0,-1,0,1,0,0)

Passo 5

Caso alpha = 1: as duas últimas equações coincidem, restam apenas
x1 + x3 + x5 = 0, x2 + x4 + x6 = 0
Agora temos quatro variáveis livres. Tomando
s = x3,; t = x5,; u = x4,; v = x6,
vem
x1 = -s - t, x2 = -u - v
Uma base do núcleo é, por exemplo,
(-1,0,1,0,0,0),; (-1,0,0,0,1,0),; (0,-1,0,1,0,0),; (0,-1,0,0,0,1)

Resposta

Para alpha neq 1,
dimker F = 3, ker F = span(-1,0,1,0,0,0),,(-1,0,0,0,1,0),,(0,-1,0,1,0,0)
Para alpha = 1,
dimker F = 4, ker F = span(-1,0,1,0,0,0),,(-1,0,0,0,1,0),,(0,-1,0,1,0,0),,(0,-1,0,0,0,1)

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