Seja A in Mm times n uma matriz de entradas reais tal que car(A)=1.
(a) Mostre que existem vectores x(m times 1) e y(1 times n) tais que A=x y. Esta decomposição é única? Justifique.
(b) Mostre que se B in Mm times n, e existem vectores x(m times 1) e y(1 times n) tais que B=x y, então car(B)=1
(c) Assuma agora que m=n. Mostre que se tem A^2=lambda A para algum número real lambda, e escreva lambda em função dos vectores x e y da decomposição da alínea (a).

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real mtimes n de posto car(A)=1. Precisamos mostrar em (a) que então existem vetores xinR^mtimes1 e yinR^1times n tais que
A = x,y,
verificar se essa decomposição é única, e justificar. Em (b) devemos provar que qualquer matriz da forma B= x,y tem posto 1. Em (c), no caso quadrado m=n, se A^2=lambda A para algum real lambda, precisamos expressar lambda em função de x e y.

Passo 2

Como car(A)=1, o espaço coluna de A é de dimensão 1, isto é, todas as colunas de A são múltiplos de uma coluna não-nula. Seja xneq0 uma coluna de A. Então, para cada coluna j de A, existe escalar aj tal que
colunaj(A)=aj,x
Montando essas constantes numa linha l[a1;cdots;anr], definimos o vetor linha yinR^1times n por
y = [,a1;cdots;an,]
Logo, reconstruímos A como
A = l[x;;x;cdots;xr]a1 vdots an = x,y
Isso prova a existência da decomposição.

Passo 3

Para ver a unicidade, suponha que também
A = x',y',
com x',xneq0. Então
x,y = x',y'implies x' = x,l(y,x'r)/l(y,xr)
Como y,x e y',x' são escalares não-nulos (pois Aneq0), concluímos que x' difere de x apenas por um fator escalar tneq0, e então y' difere de y pelo inverso t^-1. Portanto a decomposição é única salvo essa troca de escala xmapsto t,x,;ymapsto t^-1y.

Passo 4

Suponha agora uma matriz Bin Mmtimes n que se escreve B = x,y. Então cada coluna de B é múltiplo de x, logo o espaço coluna de B tem dimensão no máximo 1. Se xneq0 e yneq0 então Bneq0 e portanto car(B)=1. Se um dos dois vetores for zero, B=0 tem posto 0, mas no caso não degenerado da decomposição não-trivial temos sempre posto 1.

Passo 5

Finalmente, assuma m=n e A^2=lambda A. Usando A=x,y obtemos
A^2 = (x,y)(x,y) = x,(y,x),y = (y,x),(x,y) = (y,x),A
Comparando com A^2=lambda A, vemos que
lambda = y,x,
que é o produto escalar ( 1timesn vezes n times 1) dos vetores usados na decomposição.

Resposta

(a) Como car(A)=1, todas as colunas de A são múltiplos de uma coluna não-nula x, e então
A = x,y,
com y obtido pelos escalares que reproduzem cada coluna. Essa decomposição é única salvo um fator escalar invertido: se A=x'y' então existe tneq0 tal que x'=t,x e y'=t^-1y.
(b) Se B=x,y com x,yneq0, então cada coluna de B é múltiplo de x, de onde car(B)=1.
(c) Para A^2=lambda A em ntimes n, usando A=x,y segue lambda = y,x.

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