Seja uma matriz de entradas reais tal que .
(a) Mostre que existem vectores e tais que . Esta decomposição é única? Justifique.
(b) Mostre que se , e existem vectores e tais que , então
(c) Assuma agora que . Mostre que se tem para algum número real , e escreva em função dos vectores e da decomposição da alínea (a).
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz real de posto . Precisamos mostrar em (a) que então existem vetores e tais que
verificar se essa decomposição é única, e justificar. Em (b) devemos provar que qualquer matriz da forma tem posto . Em (c), no caso quadrado , se para algum real , precisamos expressar em função de e .
Passo 2
Como , o espaço coluna de é de dimensão , isto é, todas as colunas de são múltiplos de uma coluna não-nula. Seja uma coluna de . Então, para cada coluna de , existe escalar tal que
Montando essas constantes numa linha , definimos o vetor linha por
Logo, reconstruímos como
Isso prova a existência da decomposição.
Passo 3
Para ver a unicidade, suponha que também
A = x',y',
com x',xneq0. Então
x,y = x',y'implies x' = x,l(y,x'r)/l(y,xr)
Como y,x e y',x' são escalares não-nulos (pois Aneq0), concluímos que x' difere de x apenas por um fator escalar tneq0, e então y' difere de y pelo inverso t^-1. Portanto a decomposição é única salvo essa troca de escala xmapsto t,x,;ymapsto t^-1y.
Passo 4
Suponha agora uma matriz Bin Mmtimes n que se escreve B = x,y. Então cada coluna de B é múltiplo de x, logo o espaço coluna de B tem dimensão no máximo 1. Se xneq0 e yneq0 então Bneq0 e portanto car(B)=1. Se um dos dois vetores for zero, B=0 tem posto 0, mas no caso não degenerado da decomposição não-trivial temos sempre posto 1.
Passo 5
Finalmente, assuma m=n e A^2=lambda A. Usando A=x,y obtemos
que é o produto escalar (1timesn vezes ntimes 1) dos vetores usados na decomposição.
Resposta
(a) Como car(A)=1, todas as colunas de A são múltiplos de uma coluna não-nula x, e então
A = x,y,
com y obtido pelos escalares que reproduzem cada coluna. Essa decomposição é única salvo um fator escalar invertido: se A=x'y' então existe tneq0 tal que x'=t,x e y'=t^-1y.
(b) Se B=x,y com x,yneq0, então cada coluna de B é múltiplo de x, de onde car(B)=1.
(c) Para A^2=lambda A em ntimes n, usando A=x,y segue lambda = y,x.