Listei o que foi dado (a definição de potências inteiras em grupos) e exatamente o que precisamos mostrar. A partir daqui vou construir a prova em etapas pequenas e claras.]
Passo 2
Lembra uma propriedade básica de grupos que vamos usar: para quaisquer a,b\in G vale
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
Prova curta: (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=a e a^{-1}=aa^{-1}=e. Assim b^{-1}a^{-1} é inverso de ab; como o inverso é único, tem-se a igualdade desejada.
Passo 3
Provaremos agora um lema útil: para todo k\in\mathbb{Z} vale
\bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-k}.
Prova:
Se k=0, \bigl(x^{0}\bigr)^{-1}=e^{-1}=e=x^{0}=x^{-0}.
Se k>0, usamos indução em k.
Base k=1: \bigl(x^{1}\bigr)^{-1}=x^{-1}=x^{-1} (ok).
Passo indutivo: suponha \bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-k}. Então
\bigl(x^{k+1}\bigr)^{-1}=\bigl(x^{k}\,x\bigr)^{-1}\overset{\text{Passo 2}}{=}x^{-1}\bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-1}x^{-k}=x^{-(k+1)}.Assim vale para k+1.
Se k<0, escreva k=-t com t>0. Pela definição do enunciado x^{k}=\bigl(x^{t}\bigr)^{-1}. Então
Logo tanto x^{r}x^{-t} quanto x^{r-t} são elementos que, ao multiplicar à direita por x^{t}, dão x^{r}. Multiplicando à direita por \bigl(x^{t}\bigr)^{-1} (que existe porque estamos em grupo) obtemos
x^{r}x^{-t}=x^{r-t}.
Assim a lei aditiva vale também para s<0. Concluímos que
x^{r}x^{s}=x^{r+s}\quad\forall r,s\in\mathbb{Z}.
Passo 7
Agora sim: vamos provar a identidade principal para todos m,n\in\mathbb{Z}:
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}.
Começamos pelo caso n\ge 0 (indução em n com m fixo).
Caso base n=0: pela definição \bigl(x^{m}\bigr)^{0}=e e x^{m\cdot 0}=x^{0}=e. Então a igualdade vale.
Passo indutivo: suponha \bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}. Então, usando a definição de potência positiva e a lei aditiva,
Mas x^{-mt}=x^{m(-t)}=x^{m n}. Portanto a fórmula também vale para n<0.
Passo 9
Conclusão final: combinando os casos n=0, n>0 e n<0 obtemos que para quaisquer m,n\in\mathbb{Z}
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}.
Pronto — demonstrado de forma completa, cobrindo os sinais dos expoentes e usando apenas definições e propriedades elementares de grupos (associatividade, existência e unicidade de inversos, e a propriedade (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}).