Seja [G) um grupo e x \in G. Se n \in \mathbb{Z} definimos x^{n} como segue:
x^{n}= \begin{cases}e & \text { se } n=0 \\\ x^{n-1} \cdot x & \text { se } n>0 \\\ \left(x^{-n}\right)^{-1} & \text { se } n<0\end{cases}
(b) Prove que (\left(x{m}\right){n}=x^{m n} \quad \forall m, n \in \mathbb{Z}].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um grupo G, um elemento x\in G e a definição de x^{n} para todo n\in\mathbb{Z}:
x^{n}= \begin{cases}e & \text{se } n=0,\\[4pt] x^{n-1}\cdot x & \text{se } n>0,\\[4pt] \bigl(x^{-n}\bigr)^{-1} & \text{se } n<0.\end{cases}
  • Pedido: provar que
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n}\quad\forall m,n\in\mathbb{Z}.
Listei o que foi dado (a definição de potências inteiras em grupos) e exatamente o que precisamos mostrar. A partir daqui vou construir a prova em etapas pequenas e claras.]

Passo 2

Lembra uma propriedade básica de grupos que vamos usar: para quaisquer a,b\in G vale
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
Prova curta: (ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=a e a^{-1}=aa^{-1}=e. Assim b^{-1}a^{-1} é inverso de ab; como o inverso é único, tem-se a igualdade desejada.

Passo 3

Provaremos agora um lema útil: para todo k\in\mathbb{Z} vale
\bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-k}.
Prova:
  • Se k=0, \bigl(x^{0}\bigr)^{-1}=e^{-1}=e=x^{0}=x^{-0}.
  • Se k>0, usamos indução em k.
    • Base k=1: \bigl(x^{1}\bigr)^{-1}=x^{-1}=x^{-1} (ok).
    • Passo indutivo: suponha \bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-k}. Então
    \bigl(x^{k+1}\bigr)^{-1}=\bigl(x^{k}\,x\bigr)^{-1}\overset{\text{Passo 2}}{=}x^{-1}\bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=x^{-1}x^{-k}=x^{-(k+1)}.Assim vale para k+1.
  • Se k<0, escreva k=-t com t>0. Pela definição do enunciado x^{k}=\bigl(x^{t}\bigr)^{-1}. Então
\bigl(x^{k}\bigr)^{-1}=\Bigl(\bigl(x^{t}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-1}=x^{t}=x^{-k}.
Portanto o lema está provado para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Outro fato fundamental que vamos precisar é a lei aditiva das potências:
x^{r}\,x^{s}=x^{r+s}\quad\forall r,s\in\mathbb{Z}.
Vou provar isto em duas partes (primeiro s\ge 0, depois s<0).

Passo 5

Prova da lei aditiva quando s\ge 0 (indução em s, r fixo arbitrário).
  • Caso s=0: x^{r}x^{0}=x^{r} e = x^{r}=x^{r+0}.
  • Suponha verdadeiro para s. Então, usando a definição x^{s+1}=x^{s}x e associatividade,
x^{r}x^{s+1}=x^{r}(x^{s}x)=(x^{r}x^{s})x \overset{\text{hip}}{=} x^{r+s}x = x^{r+s+1} = x^{r+(s+1)}.
Isso fecha a indução; logo a igualdade vale para todo s\ge 0.

Passo 6

Prova da lei aditiva quando s<0. Escreva s=-t com t>0. Queremos mostrar x^{r}x^{-t}=x^{r-t}.
Observe que, usando o caso já provado para expoentes não negativos,
\bigl(x^{r}x^{-t}\bigr)x^{t}=x^{r}\bigl(x^{-t}x^{t}\bigr)=x^{r}e=x^{r},
e também
\bigl(x^{r-t}\bigr)x^{t}=x^{r-t+t}=x^{r}.
Logo tanto x^{r}x^{-t} quanto x^{r-t} são elementos que, ao multiplicar à direita por x^{t}, dão x^{r}. Multiplicando à direita por \bigl(x^{t}\bigr)^{-1} (que existe porque estamos em grupo) obtemos
x^{r}x^{-t}=x^{r-t}.
Assim a lei aditiva vale também para s<0. Concluímos que
x^{r}x^{s}=x^{r+s}\quad\forall r,s\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Agora sim: vamos provar a identidade principal para todos m,n\in\mathbb{Z}:
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}.
Começamos pelo caso n\ge 0 (indução em n com m fixo).
  • Caso base n=0: pela definição \bigl(x^{m}\bigr)^{0}=e e x^{m\cdot 0}=x^{0}=e. Então a igualdade vale.
  • Passo indutivo: suponha \bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}. Então, usando a definição de potência positiva e a lei aditiva,
\bigl(x^{m}\bigr)^{n+1}=\bigl(x^{m}\bigr)^{n}\cdot x^{m}\overset{\text{HI}}{=}x^{mn}\cdot x^{m}\overset{\text{Passo 6}}{=}x^{mn+m}=x^{m(n+1)}.
Logo vale para n+1. Assim a identidade é verdadeira para todo n\ge 0.

Passo 8

Falta o caso n<0. Escreva n=-t com t>0. Pela definição de potências com expoente negativo,
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=\bigl(x^{m}\bigr)^{-t}=\Bigl(\bigl(x^{m}\bigr)^{t}\Bigr)^{-1}.
Pelo caso t>0 já provado, \bigl(x^{m}\bigr)^{t}=x^{mt}. Aplicando o lema do Passo 3 sobre inversos,
\Bigl(\bigl(x^{m}\bigr)^{t}\Bigr)^{-1}=\bigl(x^{mt}\bigr)^{-1}=x^{-mt}.
Mas x^{-mt}=x^{m(-t)}=x^{m n}. Portanto a fórmula também vale para n<0.

Passo 9

Conclusão final: combinando os casos n=0, n>0 e n<0 obtemos que para quaisquer m,n\in\mathbb{Z}
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{mn}.
Pronto — demonstrado de forma completa, cobrindo os sinais dos expoentes e usando apenas definições e propriedades elementares de grupos (associatividade, existência e unicidade de inversos, e a propriedade (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}).

Resposta

\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n}

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