Sejam
elementos de um grupo (
) com elemento neutro
. Determine as soluções
das seguintes equações:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá que
são elementos de um grupo
com elemento neutro
. Pede-se para determinar todos os
que satisfazem a equação
Informações relevantes que temos do enunciado: o inverso
existe (porque estamos em grupo), a operação
é fechada em
e é associativa, e existe o elemento neutro
. A pergunta é: quais são todos os elementos
que tornam verdadeira a igualdade acima?
Passo 2
Lembrete rápido e didático de propriedades de grupo que vou usar (explicando como se faz na prova):
- Em um grupo, podemos “multiplicar” ambos os lados de uma igualdade pela mesma coisa à esquerda ou à direita, porque a operação é fechada e existe inverso; isso não cria problemas e preserva a igualdade.
- A associatividade permite que a gente remova parênteses quando for conveniente (por exemplo,
). - O produto de um elemento com seu inverso dá o neutro: para qualquer
, e .
Essas são as ferramentas básicas que usamos para “isolar”numa equação em grupos.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades à equação
.
Multiplico ambos os lados à esquerda por e à direita por
. Justifico: multiplicar por
à esquerda e por
à direita é permitido e preserva a igualdade porque estamos em um grupo. Assim obtemos
Multiplico ambos os lados à esquerda por
Passo 4
Agora uso associatividade para recolocar os parênteses e aplicar
. No membro esquerdo:
Como
, isso vira
. Como
é neutro,
. No membro direito:
Portanto a igualdade anterior reduz-se a
Passo 5
Concluímos que qualquer
que satisfaça
deve ser
. Em outras palavras, a única solução é o elemento neutro do grupo. (Se preferir outra visão: a aplicação
é uma bijeção — conjugação — e envia
apenas para
, logo só
pode mapear para
.)