Sejam a, b, c elementos de um grupo ( G, * ) com elemento neutro e. Determine as soluções x \in G das seguintes equações:
(a) c^{-1} * x * c=e

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são elementos de um grupo (G,*) com elemento neutro e. Pede-se para determinar todos os x\in G que satisfazem a equação
c^{-1} * x * c = e.
Informações relevantes que temos do enunciado: o inverso c^{-1} existe (porque estamos em grupo), a operação *) é fechada em G e é associativa, e existe o elemento neutro e. A pergunta é: quais são todos os elementos x\in G que tornam verdadeira a igualdade acima?

Passo 2

Lembrete rápido e didático de propriedades de grupo que vou usar (explicando como se faz na prova):
  • Em um grupo, podemos “multiplicar” ambos os lados de uma igualdade pela mesma coisa à esquerda ou à direita, porque a operação é fechada e existe inverso; isso não cria problemas e preserva a igualdade.
  • A associatividade permite que a gente remova parênteses quando for conveniente (por exemplo, a*(b*c)=(a*b)*c).
  • O produto de um elemento com seu inverso dá o neutro: para qualquer g\in G, g * g^{-1} = e e g^{-1} * g = e.
    Essas são as ferramentas básicas que usamos para “isolar” x numa equação em grupos.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades à equação \,c^{-1} * x * c = e.
Multiplico ambos os lados à esquerda por c e à direita por c^{-1}. Justifico: multiplicar por c à esquerda e por c^{-1} à direita é permitido e preserva a igualdade porque estamos em um grupo. Assim obtemos
c * \bigl(c^{-1} * x * c\bigr) * c^{-1} \;=\; c * e * c^{-1}.

Passo 4

Agora uso associatividade para recolocar os parênteses e aplicar c * c^{-1}=e. No membro esquerdo:
c * \bigl(c^{-1} * x * c\bigr) * c^{-1} = \bigl(c * c^{-1}\bigr) * x * \bigl(c * c^{-1}\bigr).
Como \,c * c^{-1}=e, isso vira \,e * x * e. Como e é neutro, e * x * e = x. No membro direito:
c * e * c^{-1} = c * c^{-1} = e.
Portanto a igualdade anterior reduz-se a
x = e.

Passo 5

Concluímos que qualquer x que satisfaça \,c^{-1} * x * c = e deve ser x=e. Em outras palavras, a única solução é o elemento neutro do grupo. (Se preferir outra visão: a aplicação x\mapsto c^{-1}*x*c é uma bijeção — conjugação — e envia e apenas para e, logo só x=e pode mapear para e.)

Resposta

x = e

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