Seja o grupo multiplicativo
, onde
a) Determine o elemento inverso de cada elemento de G
b) Seja
definida por
. Mostre que f é um homomorfismo de grupos
c) Encontre o núcleo de f
a) Determine o elemento inverso de cada elemento de G
b) Seja
c) Encontre o núcleo de f
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) os inversos em G=Z₈^×={1,3,5,7} sob multiplicação módulo 8; (b) mostrar que f:G→G dada por f(x)=x² é homomorfismo; © encontrar ker(f). Vamos usar teoria de grupos e aritmética modular.
Passo 2
Em Z₈^× os elementos são invertíveis mod 8. Para achar cada inverso,
– inversa de 1: claro que , então
.
– inversa de 3: buscamos . Testando x=3:
– inversa de 1: claro que
– inversa de 3: buscamos
Logo
.
– inversa de 5: testando x=5:
– inversa de 5: testando x=5:
Logo
.
– inversa de 7: testando x=7:
– inversa de 7: testando x=7:
Logo
. Todos são auto-inversos.
Passo 3
Para mostrar que f(x)=x² é homomorfismo, usamos a definição f(xy)=f(x)f(y). De fato, em Z₈^× (grupo abeliano) vale
Assim f preserva o produto.
Passo 4
O núcleo ker(f) são os x em G tais que f(x)=1, ou seja x²≡1 (mod 8). Testando cada elemento de G:
1²≡1, 3²≡9≡1, 5²≡25≡1, 7²≡49≡1. Portanto todos os elementos satisfazem, e
1²≡1, 3²≡9≡1, 5²≡25≡1, 7²≡49≡1. Portanto todos os elementos satisfazem, e
ker(f)=G={1,3,5,7}.
Passo 5
Resposta final pronta.
Resposta
(a) Os inversos são 1⁻¹=1, 3⁻¹=3, 5⁻¹=5, 7⁻¹=7. (b) f(x)=x² é homomorfismo pois f(xy)=(xy)²=x²y²=f(x)f(y). © ker(f)={x∈G:x²≡1 mod 8} =G={1,3,5,7}.