Seja o grupo multiplicativo G=(Z8^times, cdot), onde Z8^times=bara in Z8 ; m d c(a, 8)=1
a) Determine o elemento inverso de cada elemento de G
b) Seja f: G G definida por f(x)=x^2. Mostre que f é um homomorfismo de grupos
c) Encontre o núcleo de f

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) os inversos em G=Z₈^×={1,3,5,7} sob multiplicação módulo 8; (b) mostrar que f:G→G dada por f(x)=x² é homomorfismo; © encontrar ker(f). Vamos usar teoria de grupos e aritmética modular.

Passo 2

Em Z₈^× os elementos são invertíveis mod 8. Para achar cada inverso,
– inversa de 1: claro que 1cdot1equiv1pmod8, então 1^-1=1.
– inversa de 3: buscamos 3cdot xequiv1pmod8. Testando x=3:
3cdot3=9equiv1pmod8
Logo 3^-1=3.
– inversa de 5: testando x=5:
5cdot5=25equiv1pmod8
Logo 5^-1=5.
– inversa de 7: testando x=7:
7cdot7=49equiv1pmod8
Logo 7^-1=7. Todos são auto-inversos.

Passo 3

Para mostrar que f(x)=x² é homomorfismo, usamos a definição f(xy)=f(x)f(y). De fato, em Z₈^× (grupo abeliano) vale
f(xy)=(xy)^2=x^2y^2=f(x)f(y)
Assim f preserva o produto.

Passo 4

O núcleo ker(f) são os x em G tais que f(x)=1, ou seja x²≡1 (mod 8). Testando cada elemento de G:
1²≡1, 3²≡9≡1, 5²≡25≡1, 7²≡49≡1. Portanto todos os elementos satisfazem, e
ker(f)=G={1,3,5,7}.

Passo 5

Resposta final pronta.

Resposta

(a) Os inversos são 1⁻¹=1, 3⁻¹=3, 5⁻¹=5, 7⁻¹=7. (b) f(x)=x² é homomorfismo pois f(xy)=(xy)²=x²y²=f(x)f(y). © ker(f)={x∈G:x²≡1 mod 8} =G={1,3,5,7}.

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