a) Determine o elemento neutro de G. (1,0 ponto)
b) Construa a tabela da operação * do grupo G (1,0 ponto)
*
0
1
2
4
0
1
2
4
Passo 1
A questão define o grupo G=Z5-3 com a operação
[
\bar a*\bar b=\overline{ab}+\overline{2(a+b)}+\overline{2})
ou seja, um problema de teoria de grupos: identificar o elemento neutro e montar a tabela de Cayley. Para resolver vamos usar a condição do neutro e tal que a*e=a para todo ain G, e depois computar a*b para todos a,bin G.
Passo 2
Para achar o elemento neutro bar e basta impor
bar a*bar e=bar a
para todo ain0,1,2,4. Como a operação é comutativa, basta resolver
ae+2(a+e)+2equiv apmod5
Testando a=0,1,2,4 obtemos sempre eequiv4pmod5. Logo o elemento neutro é 4.
Passo 3
Agora vamos montar a tabela para G=overline0,overline1,overline2,overline4. Calculamos