Considere o grupo G=Z5-3 cuja operação * definida por
bara * barb=a b+2(a+b)+2
a) Determine o elemento neutro de G. (1,0 ponto)
b) Construa a tabela da operação * do grupo G (1,0 ponto)
* 0 1 2 4
0
1
2
4

Passo 1

A questão define o grupo G=Z5-3 com a operação
[
\bar a*\bar b=\overline{ab}+\overline{2(a+b)}+\overline{2})
ou seja, um problema de teoria de grupos: identificar o elemento neutro e montar a tabela de Cayley. Para resolver vamos usar a condição do neutro e tal que a*e=a para todo ain G, e depois computar a*b para todos a,bin G.

Passo 2

Para achar o elemento neutro bar e basta impor
bar a*bar e=bar a
para todo ain0,1,2,4. Como a operação é comutativa, basta resolver
ae+2(a+e)+2equiv apmod5
Testando a=0,1,2,4 obtemos sempre eequiv4pmod5. Logo o elemento neutro é 4.

Passo 3

Agora vamos montar a tabela para G=overline0,overline1,overline2,overline4. Calculamos
a*b=ab+2(a+b)+2pmod5
para cada par (a,b), obtendo a tabela:

Passo 4

Na tabela abaixo as linhas são a e as colunas b:
c|cccc * & 0 & 1 & 2 & 4 hline 0 & 2 & 4 & 1 & 0 1 & 4 & 2 & 0 & 1 2 & 1 & 0 & 4 & 2 4 & 0 & 1 & 2 & 4

Resposta

O elemento neutro de G é 4. A tabela da operação * é:
c|cccc * & 0 & 1 & 2 & 4 hline 0 & 2 & 4 & 1 & 0 1 & 4 & 2 & 0 & 1 2 & 1 & 0 & 4 & 2 4 & 0 & 1 & 2 & 4

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